D246. Quatre droites concourantes
Soit ABCD un quadrilatère dont les sommets sont cocycliques et qui admet en son intérieur un cercle tangent à ses côtés AB, BC, CD et DA aux points K, L, M et N respectivement.
Les bissectrices extérieures des angles DAB et ABC se coupent en un point K’, celles des angles ABC et BCD en un point L’, celles des angles BCD et CDA en un point M’ et celles des angles CDA et DAB en un point N’.
Démontrer que les droites KK’, LL’, MM’ et NN’ sont concourantes.
Solution proposée par Paul Voyer
Le quadrilatère admet à la fois un cercle circonscrit et un cercle inscrit.
Un tel quadrilatère est appelé "bicentrique".
K'L' est parallèle à KL car perpendiculaire à la bissectrice en B de ABC, de même L'M' est parallèle à LM, M'N' à MN et N'K' à NK.
K'M' est la bissectrice de (AD, BC), car K' et M' sont les centres des cercles inscrits idoines.
(voir K' sur la figure)
De même, L'N' est la bissectrice de (AB, CD).
Donc K'M' est perpendiculaire à NL (points de contact de AD, BC tangentes au cercle KLMN), donc parallèle à KM, et L'N' est parallèle à LN.
Les quadrilatères KLMN et K'L'M'N', ayant leurs côtés et leurs diagonales parallèles, sont donc homothétiques l'un de l'autre.
Le point de concours F des 4 droites est le centre de cette homothétie.
