D246 Quatre Droites concourantes
Soit ABCD un quadrilatère dont les sommets sont cocycliques et qui admet en son intérieur un cercle tangent à ses côtés AB,BC,CD et DA aux points K ,L,M et N respectivement. Les bissectrices extérieures des angles DAB et ABC se coupent en un point K’, celles des angles ABC et BCD en un point L’, celles des angles BCD et CDA en un point M’ et celles des angles CDA et DAB en un point N’.Démontrer que les droites KK’, LL’,MM’ et NN’ sont concourantes
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Le quadrilatère ABCD est bicentrique. Cela implique que KM et NL sont perpendiculaires. Les diagonales AC, BD, et les droites KM et LN sont concourantes.
Soient O le centre du cercle (KLMN) et V = BC∩AD. Les points K' et O sont les centres des cercles inscrit et exinscrit dans l'angle V pour le triangle AVB, ils sont sur la bissectrice de l'angleAVB.
Les points O et M' sont les centres des cercles inscrit et exinscrit dans l'angle V pour le triangle CVD, eux aussi sont sur la bissectrice de l'angleAVB. Les 4 points V,K',O,M' sont alignés sur la médiatrice de NL. Les segments de droite KM et K'M', sont perpendiculaires à NL, donc KM//K'M'. De même NL//N'L'.
