D1824 ‒ K,L,M en bonne compagnie [** à la main]
Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissectrice de l'angle BAC coupe le côté BC au point A₁ et l'arc BC qui ne contient pas A au point M. La droite perpendiculaire au côté AC passant par A₁ coupe l'arce AC qui ne contient pas B au point K. La perpendiculaire à BK passant par A coupe le côté BC au point L. Démontrer que les points K,L et M sont alignés.
Solution proposée par Bernard Vignes
K,L et M sont alignés si la droite KL coupe l'arc BC en son milieu M.
Soient I l'intersection de A₁K et de AC et J l'intersection de BK et de AL.
On démontre successivement que les quatre points A,K,I,J puis les quatre points A,A₁,L et K sont cocycliques.
- les quatre points A,K,I,J snt cocycliques car les angles AIK et AJK sont droits. D'où CAL = BKA₁ - puis les quatre points A,A₁,L et K sont cocycliques. En effet le quadrilatère ABCK est inscrit dans (Γ).
D'où CAK = CBK. Or CA₁K = CBK + BKA₁ = CAK + CAL = KAL.
On en déduit A₁AL = A₁KL
puis CAA₁ = CAL + A₁AL = BKA₁ + A₁KL = BKL = BAC/2.
KL coupe donc l'arc BC en son milieu. Cqfd.
