Enoncé A562 (Diophante) David et Goliath
Dans cet amas lointain de vingt exoplanètes, chacune d’elles est caractéri- sée par un couple d’entiers (a, b) avecachiffre pair choisi parmi l’ensemble 2,4,6,8 et b chiffre impair choisi parmi l’ensemble 1,3,5,7,9.
Sur l’exoplanète E(a, b) on trouve vingt-quatre « goliath » (k = 1,2, . . . ,24 ) et chacun a la valeur
g(a, b, k) =a . . . kfois. . . ab...kfois...b+b . . . k fois. . . ba...k fois...a.
Par exemple le quatrième « goliath » de l’exoplanète E(2,5) prend la valeur g(2,5,4) = 22225555+ 55552222.
Le 1er mai 2013, un « david » de valeur d(a, b) = a+b débarque sur chaque exoplanète E(a, b). On admet qu’un « david » terrasse le k-ième
« goliath » si d(a, b) divise g(a, b, k).
En précisant les valeurs des couples d’entiers (a, b), déterminer les exopla- nètes E(a, b) où :
Q1 Les vingt-quatre « goliath » sont terrassés par le « david ».
Q2 Les vingt-quatre « goliath » survivent.
Q3 Quatre « goliath » sont terrassés et les autres survivent.
Q4 Trois « goliath » sont terrassés et les autres survivent.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je noteh(k) le nombre écrit aveckchiffres 1. En conséquence g(a, b, k) = (h(k)a)h(k)b+ (h(k)b)h(k)a
Je commence par dresser, pour les 24 valeurs de k et les 8 valeurs de d=a+b (impairs de 3 à 17), les tableaux des restes deh(k) modulodet modulo le plus grand indice multiplicatif modulod(d−1 sidest premier, 6 pourd= 9, 4 pour d= 15).
Cela fait apparaître des regroupements de valeurs de k conduisant aux mêmes restes et permettant de traiter les goliaths par paquets. Je réduis ainsi de 480 à 109 le nombre des évaluations deg(a, b, k) modd(a, b), selon le nombre #kdes groupes de valeurs deket le nombre #Edes exoplanètes correspondant à chaque valeur de david.
a+b 3 5 7 9 11 13 15 17
#k 3 2 6 7 2 7 4 19
#E 1 2 3 4 4 3 2 1
Le tableau de chasse des davids est ainsi, en nombre de goliath terrassés :
score exoplanète k
24/24 (Q1) E(4,1), E(6,3), E(8,3)
16/24 E(2,1) 3i,1 + 3i
12/24 E(2,9), E(4,7), E(6,5) 2i 12/24 E(2,5), E(4,3) 6i,3 + 6i,4 + 6i
12/24 E(8,5) 6i,2 + 6i,3 + 6i
11/24 E(2,7) 4,13,22,3i
11/24 E(4,5) 2,11,20,3i
11/24 E(8,1) 1,10,19,3i
8/24 E(6,1) 6i,1 + 6i
4/24 (Q3) E(4,9), E(6,7) 6i
2/24 E(8,9) 10,16
0/24 (Q2) E(2,3), E(6,9), E(8,7)
Q4 : je ne trouve pas d’exoplanète où exactement 3 goliaths sont terrassés.
