Enonc´e noA316 (Diophante) SVP 7 ou plus, rien d’autre
D´emontrer qu’il existe une infinit´e de couples d’entiers naturels tels que chacun d’eux et leur produit contiennent exclusivement des chiffres sup´erieurs ou ´egaux `a 7.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La table de multiplication montre que les deux nombres ont 7 pour chiffre des unit´es, d’o`u 9 pour chiffre des unit´es du produit.
Soient donc 10a+ 7 et 10b+ 7 les deux nombres. Le chiffre des dizaines du produit, qui doit ˆetre 7, 8 pou 9, est le chiffre des unit´es de 7(a+b) + 4, d’o`u pour le chiffre des unit´es de a+b 9, 2 ou 5. Ce ne peut ˆetre r´ealis´e qu’avec a = 8 et b = 7 (ou l’inverse). mais 87×77 = 6699, ce qui ne satisfait pas l’´enonc´e.
J’´ecris maintenant 100a+ 87 et 100b+ 77 les deux nombres. Le chiffre des centaines du produit est celui des unit´es de 77a+87b+6. D’o`u 7(a+b) = 1, 2 ou 3 modulo 10, puisa+b= 3, 6 ou 9 modulo 10, ce qui donnea=b= 8, ou a= 9 etb= 7 ou a= 7 etb= 9.
887×877 = 777899, seule solution en nombres de 3 chiffres, car 987∗777 = 766899, 787∗977 = 768899.
Poursuivons avec les chiffres des milliers (encore ´ecrits aetb) : selon celle des 3 solutions ci-dessus dont on part, 7(a+b) = 0, 1 ou 2 dans le premier cas, 1, 2 ou 3 dans le second cas, et 9, 0 ou 1 dans le troisi`eme cas. D’o`u a+b = modulo 10 respectivement 0, 3 ou 6 ; 3, 6 ou 9 ; et 7, 0 ou 3. A nouveau (a, b) = (8,8), (9,7) ou (7,9) correspondant `a a+b= 16. D’o`u 6 cas, dont les 4 premiers sont des solutions en nombres de 4 chiffres : 8887×8877 = 78889899, 9887×7877 = 77879899, 7887×9877 = 77899899, 8987×8777 = 78878899, 9987×7777 = 77668899, 7987×9777 = 78088899.
Pour prolonger, je dresse le tableau en fonction (premi`ere colonne) du chiffre du produit `a corriger (le 5e `a partir de la droite, au stade actuel).
mod10 7(a+b) a+b {a, b}
0 7,8,9 1,4,7 {7,7};{8,9}
1 6,7,8 8,1,4 {7,7};{9,9}
2 5,6,7 5,8,1 {7,8};{9,9}
3 4,5,6 2,5,8 {7,8};{9,9}
4 3,4,5 9,2,5 {7,8}
5 2,3,4 6,9,2 {7,9};{8,8}
6 1,2,3 3,6,9 {7,9};{8,8}
7 0,1,2 0,3,6 {7,9};{8,8}
8 9,0,1 7,0,3 {8,9}
9 8,9,0 4,7,0 {8,9}
On voit qu’il est toujours possible de prolonger les nombres vers la gauche, et cela de deux ou trois fa¸cons diff´erentes. On obtient ainsi 15 cas pour 5 chiffres (les 9 premiers ´etant des solutions du probl`eme).
88887×98877 = 8788879899, 98887×88877 = 8788779899, 89887×87877 = 7898999899, 99887×77877 = 7778899899, 87887×99877 = 8777889899, 97887×89877 = 8797789899, 88987×88777 = 7899998899, 98987×78777 = 7797898899, 89987×87777 = 7898788899,
79887×97877 = 7819099899, 78987×98777 = 7802098899, 79987×97777 = 7820888899, 99987×88777 = 7776688899, 87987×99777 = 8779078899, 97987×89777 = 8796978899.
Il reste cependant `a montrer que pour chaque nombre de chiffres, ces di- verses possibilit´es incluent des solutions, c’est `a dire des produits dont tous les chiffres sont 7, 8 ou 9.
Le 9e cas ci-dessus se g´en´eralise au couple suivant, `a k+ 1 chiffres : 8 9. . .9
| {z }
k−2
87×8 7. . .7
| {z }
k
= (9·10k−13)×79·10k−7
9 =
= 79·102k−121·10k−10k−10
9 + 9 = 78 9. . .9
| {z }
k−3
87 8. . .8
| {z }
k−1
99, ce qui prouve l’assertion de l’´enonc´e pour 4 chiffres et plus.
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