Tous les Q.C.M posés au Bac S de Juin 2002 à Novembre 2006
Exercice 1 Nouvelle Calédonie Novembre 2006 L'espace est rapporté à un repère orthonormalO,−→
ı ,−→
,−→
k .On considère : les points A(0 ; 0 ; 3), B(2 ; 0 ; 4), C(−1 ; 1 ; 2) et D(1 ; −4 ; 0)
les plans(P1) : 7x+ 4y−3z+ 9 = 0 et(P2) :x−2y = 0.
les droites(∆1) et(∆2)dénies par leurs systèmes d'équations paramétriques respectifs
8>
<
>:
x = −1 +t y = −8 + 2t z = −10 + 5t
t∈R
8>
<
>:
x = 7 + 2t0 y = 8 + 4t0 z = 8−t0
t0 ∈R
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse est comptée0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à0.
a. b. c d.
1. Le plan (P1)
est Le plan (ABC) Le plan (BCD) Le plan (ACD) Le plan (ABD) 2. La droite(∆1)
contient Le point A Le point B Le point C Le point D
3. Position rela- tive de(P1)et de (∆2)
(∆1) est stricte- ment parallèle à (P1)
(∆1) est incluse dans(P1)
(∆1)coupe(P1) (∆1) est ortho- gonale à(P1) 4. Position rela-
tive de (∆1) et de(∆2)
(∆1) est stricte- ment parallèle à (∆2)
(∆1) et (∆2)
sont confondues (∆1) et (∆2)
sont sécantes (∆1) et (∆2) sont non copla- naires.
5. L'intersection de (P1) et de (P2) est une droite dont une représentation paramétrique est
8>
><
>>
:
x = t y = −2 + 1
2t z = 3t
8>
<
>:
x = 2t y = t z = 3 + 6t
8>
<
>:
x = 5t y = 1−2t z = t
8>
<
>:
x = −1 +t y = 2 +t z = −3t
Exercice 2 France métropolitaine Juin 2006 SoitO,−→
ı ,−→
,−→
k un repère orthonormal de l'espace.
On considère les points
A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2),E(3 ; 2 ; −1),I3
5 ; 4 ; −9 5
Pour chacune des cinq armations suivantes, dire, sans le justier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.
1) Une équation du plan (ABC) est :2x+ 2y−z−11 = 0. 2) Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
3) Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
4) La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :
(CD)
8>
<
>:
x = −1 + 2t y = −1 +t z = 1−t
(t ∈R).
5) Le point I est sur la droite (AB).
Exercice 3 Amérique du Nord Juin 2006
Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la ré- ponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de ré- ponse est comptée0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes :
4 sont marqués oui , 3 sont marqués non et 3 sont marqués blanc .
Lors d'un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d'euro. Il tire ensuite un bulletin de l'urne et l'y remet après l'avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué oui , le joueur reçoit 60 centimes d'euro, s'il est marqué non , il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué blanc , il reçoit 20 centimes d'euro.
Question 1 Le jeu est :
A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable Question 2 Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres.
La probabilité qu'il tire au moins une fois un bulletin marqué oui est égale à A : 216
625 B : 544
625 C : 2 5
Lors d'un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l'urne.
Question 3 : la probabilité qu'il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes diérentes est égale à : A : 4
15 B : 11
30 C : 11 15
Exercice 4 Antilles-Guyane Juin 2006
QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justication n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l'absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.
1) L'équation e2x−3ex−4 = 0 admet dansR :
a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 2 solutions 2) L'expression−e−x
a. n'est jamais néga- tive
b. est tou- jours néga- tive
c. n'est néga- tive que si x est positif
d. n'est né- gative que si x est négatif 3) lim
x→+∞
2ex−1 ex+ 2 =
a.−1
2 b. 1 c. 2 d.+∞
4) L'équation diérentielley= 2y0 −1a pour ensemble de solutions : a.
x7→ke2x−1 aveck ∈R
b.
x7→ke12x+1 avec k ∈R
c.
x7→ke12x−1 avec k∈R
d.
x7→ke2x+1 aveck ∈R2
Exercice 5 Polynésie Juin 2006
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormalO,−→ ı ,−→
,−→ k
, on donne les points A(0 ; 0 ; 2) B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).
On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l'isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).
Proposition 1 : l'ensemble des pointsM de l'espace tels que−−→
AM ·−−→
BC = 0 est le plan (AlO) . Proposition 2 : l'ensemble des pointsM de l'espace tels que−−→
MB +−−→
MC = −−→
MB −−−→
MC est la sphère de diamètre [BC] .
Proposition 3 : le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 .
Proposition 4 : le plan (ABC) a pour équation cartésienne2x+y+ 2z = 4 et le point H a pour coordonnées8
9 ; 4 9 ; 8
9
Proposition 5 : la droite (AG) admet pour représentation paramétrique8
><
>:
x = t y = 2t z = 2−2t
(t ∈R).
Exercice 6 Polynésie Juin 2006 Spécialité
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Proposition 1 : pour tout entier natureln, 3 divise le nombre22n−1.
Proposition 2 : Si un entier relatif x est solution de l'équation x2 +x ≡ 0 (modulo 6) alors x≡0 (modulo3).
Proposition 3 : l'ensemble des couples d'entiers relatifs(x ; y) solutions de l'équation12x−5y= 3 est l'ensemble des couples(4 + 10k ; 9 + 24k) oùk ∈Z .
Proposition 4 : il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et PPCM(a, b)−PGCD(a, b) = 1.
Deux entiers naturelsMetN sont tels queM a pour écritureabcen base dix etN a pour écriturebca en base dix.
Proposition 5 : Si l'entierM est divisible par 27 alors l'entierM−N est aussi divisible par 27 .
Exercice 7 La Réunion Juin 2006
Pour chacune des questions 1, 2, 3 et 4, parmi les quatre armations proposées, deux sont exactes et deux sont fausses. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux armations qu'il pense exactes. Aucune justication n'est demandée. Les quatre questions sont indépendantes et sont notées sur 1 point. Toute réponse juste rapporte 0,5 point. Donner plus de 2 réponses à une question entraîne la nullité de la question.
L'espace est rapporté à un repère orthonormalO,−→ ı ,−→
,−→ k . 1) Soit P le plan d'équation2x+ 3y+ 4z−1 = 0.
a. La distance du point O au planP est égale à 1.
b. La distance du point O au planP est égale à 1
√29. c. Le vecteur−→
n
1 ; 3 2 ; 2
est un vecteur normal au planP. d. Le planQd'équation −5x+ 2y+z = 0 est parallèle au planP.
2) On désigne par P le plan d'équation 2x+y−z = 0, et par D la droite passant par le point A(1 ; 1 ; 1)et de vecteur directeur−→
u (1 ; −4 ; −2). a. La droiteD est parallèle au planP.
b. La droite D est orthogonale au planP. c. La droiteD est sécante avec le planP.
d. Un système d'équations paramétriques deD est
8>
<
>:
x = 1 +t y = 1−4t z = 1−2t
(t ∈ R).
3) On désigne par E l'ensemble des pointsM(x; y; z)tels que :x+y+z = 3et2x−z = 1. Soit le point A(1 ; 1 ; 1).
a. L'ensemble E contient un seul point, le point A.
b. L'ensemble E est une droite passant par A.
c. L'ensemble E est un plan passant par A.
d. L'ensemble E est une droite de vecteur directeur−→
u (1 ; −3 ; 2).
4) ABCD est un tétraèdre quelconque. SoitPle plan passant par A et orthogonal à la droite (BC).
a. Le planP contient toujours le point D.
b. Le planP contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC.
c. Le planP est toujours l'ensemble des pointsMde l'espace tels que :
−−→BM ·−−→
BC =−−→
BA ·−−→
BC . d. Le planP est toujours le plan médiateur du segment [BC].
Exercice 8 Pondichery avril 2006
Dix armations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont proposées ci-dessous.
Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l'armation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.
Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à0.
1) Pour tout réelx, ex désigne l'image dex par la fonction exponentielle.
Armation 1. a Pour tous les réelsa etb : (ea)b =e(ab). Armation 1. b Pour tous les réelsa etb :ea−b = ea
eb.
Armation 1. c La droite d'équationy=x+ 1 est la tangente à la courbe repré- sentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.
2) Soitf une fonction numérique dénie sur un intervalle ouvert I et soita un élément de I.
Armation 2. a Si f est dérivable ena, alors f est continue ena. Armation 2. b Si f est continue ena, alorsf est dérivable ena.
Armation 2. c Si f est dérivable ena, alors la fonctionh7→ f(a+h)−f(a) admet une limite nie en0. h
3) On considère deux suites(un)et (vn)dénies surN.
Armation 3. a Si limun = +∞ et silimvn=−∞ alorslim (un+vn) = 0. Armation 3. b Si (un) converge vers un réel non nul et silimvn = +∞,
alors la suite(un, ×vn) ne converge pas.
Armation 3. c Si (un) converge vers un réel non nul, si(vn) est positive et si limvn= 0, alors la suiteun
vn
ne converge pas.
Armation 3. d Si (un) et(vn) convergent alors la suiteun vn
converge.
Exercice 9 Antilles-Guyane septembre 2005
Pour cet exercice, vous recopierez pour chaque question, votre réponse.
Chaque réponse juste rapporte I point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il sera retiré 0,5 point par réponse fausse.
La note nale de l'exercice ne pourra pas être inférieure à zéro.
SoitO,−→ ı ,−→
,−→
k un repère orthonormal.
1) La droite passant par A(1 ; 2 ; −4)et B(−3 ; 4 ; 1), et la droite représentée par
8>
<
>:
x = −11−4t y = 8 + 2t z = 11 + 5t
t ∈R sont :
¤ sécantes
¤ strictement parallèles
¤ confondues
¤ non coplanaires
2) Soient le planP d'équation2x+ 3y−z+ 4 = 0et la droiteD représentée par
8>
<
>:
x = t y = t z = 8 +t
t ∈R
¤ P etD sont sécants.
¤ P etD sont strictement parallèles.
¤ D est incluse dansP.
¤ Aucune de ces possibilités n'est vraie.
3) La distance du point A(1 ; 2 ; −4) au plan d'équation2x+ 3y−z+ 4 = 0est :
¤ 8√ 14
¤ 167
¤ 8√ 14
¤ 8 7
4) Soient le point B(−3 ; 4 ; 1) et la sphèreS d'équation x2+y2 +z2 = 16 .
¤ B est à l'intérieur deS.
¤ B est à l'extérieur deS
¤ B est surS.
¤ On ne sait pas.
Exercice 10 France métropolitaine septembre 2005 obligatoire Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Aucune justication n'est demandée.
1) Soit z le nombre complexe de module√
2et d'argument π
3. On a alors : A : z14 =−128√
3−128i B : z14= 64−64i
C : z14=−64 + 64i√ 3 D : z14=−128 + 128i√
3
2) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d'axe 3 et le point T d'axe4i. Soit (E) l'ensemble des pointsMd'axeztels que|z−3|=|3−4i|. A : (E) est la médiatrice du segment [ST].
B : (E) est la droite (ST).
C : (E) est le cercle de centreΩd'axe3−4i, et de rayon 3.
D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.
3) On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produit scalaire−−→
AC ·−−→
CF est égal à : A : √
3 B : −3 C : −√
3 D; 3 2. 4) Une fonctiongest dénie sur l'intervalle]−∞; 0]parg(x) =
√x2−2x
x−3 ; soitΓsa courbe représentative dans un repère du plan.
A :Γ admet une asymptote d'équationy=−1. B : Γn'admet pas d'asymptote.
C :Γ admet une asymptote d'équationy=x. D : Γadmet une asymptote d'équationy= 1. 5) Soit la fonctionf dénie surR par
f(x) =
Z x
0 e−t2dt
La fonctionf00, dérivée seconde de la fonctionf surR, est dénie par : A : f00(x) = Z x
0 −2te−t2 dt.
B : f00(x) =Z x
0 −2xe−x2 dx.
C : f00(x) =−2xe−x2. D : f00(x) =e−x2.
Exercice 11 France métropolitaine septembre 2005 spécialité
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune jus- tication n'est demandée.
1) On considère dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation :x2−x+ 4 ≡0 (modulo6). A : toutes les solutions sont des entiers pairs.
B : il n'y a aucune solution.
C : les solutions vérientx≡2 (modulo6).
D : les solutions vérientx≡2 (modulo6) oux≡5 (modulo6).
2) On se propose de résoudre l'équation (E) :24x+ 34y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.
A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme :(x ;y) = (34k−7 ; 5−24k), k∈Z. B : L'équation (E) n'a aucune solution.
C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme :(x ; y) = (17k−7 ; 5−12k), k ∈Z. D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme :(x ; y) = (−7k ; 5k), k∈Z.
3) On considère les deux nombresn= 1 789 et p= 1 7892 005. On a alors : A :n ≡4 (modulo17) et p≡0 (modulo17).
B : pest un nombre premier.
C :p≡4 (modulo17). D : p≡1 (modulo17).
4) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d'axes respectivesa et b. Le triangleMAB est rectangle isocèle direct d'hypoténuse [AB] si et seulement si le pointMd'axez est tel que :
A :z = b−ia 1−i .
B : z−a=eiπ4(b−a). C :a−z =i(b−z). D : b−z = π
2(a−z).
5) On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soitf la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle2π
3 ; soit g la similitude directe de centre A, de rapport1
2 et d'angle π
3; soit h la symétrie centrale de centre 1.
A :h◦g◦f transforme A en B et c'est une rotation.
B : h◦g◦f est la réexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].
C :h◦g◦f n'est pas une similitude.
D : h◦g◦f est la translation de vecteur−−→
AB .
Exercice 12 Polynésie septembre 2005
Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO, −→ u , −→
v . 1) Le point M est situé sur le cercle de centre A(−2 ; 5)et de rayon √
3. Son axez vérie :
a. |z−2 + 5i|2 = 3. b. |z+ 2−5i|2 = 3. c. |z−2 + 5i|= 3.
2) On considère trois points A, B et C d'axes respectivesa, b etc, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n'est pas équilatéral. Le pointM est un point dont l'axez est telle que les nombres complexesz−b
c−a et z−c
b−a sont imaginaires purs.
a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] . c. M est l'orthocentre du triangle ABC.
3) Soit A et B les points d'axes respectives1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelleGl'isobarycentre des points A, B et C et on notezG son axe.
a. |zG−3−2,5i|= 5 6 . b. zG−(1 +i) = 1
3(4 + 3i) . c. zG−(3 + 2,5i) = 1
3(4 + 3i).
Exercice 13 Nouvelle-Calèdonie novembre 2005
Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée. Une réponse exacte rapporte1 point. Une réponse fausse enlève0,5 point. L'absence de réponse est comptée0 point. Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant est ramenée à zéro.
1) Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher.
On extrait simultanément trois boules de l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires et une boule rouge ?
A 75
512 B 13 56 C 15
64 D 15
28
2) Au cours d'une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d'une population.
Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est0,25.
Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ?
A 1
120 B 3
40
C 1
12 D 4
40 3) Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.
Il gagne 10 euros si le dé marque 1. Il gagne 1 euro si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. SoitX la variable aléatoire égale au gain du joueur.
Quelle est la variance deX?
A 2 B 13
C 16 D 17
4) La durée d'attenteT, en minutes, à un péage d'autoroute avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètreλ = 1
6. On a donc pour tout réelt >0: P(T < t) =
Z t
0 λe−λxdx ( avecλ= 1 6) oùt désigne le temps exprimé en minutes.
Sachant qu'un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie à10−4 près) que son temps total soit inférieur à5 minutes ?
A 0,2819 B 0,3935 C 0,5654 D 0,6065
Exercice 14 Amérique du sud septembre 2005
Dans cet exercice, une réponse par VRAI ou FAUX , sans justication, est demandée au candidat en regard d'une liste d'armations. Toute réponse conforme à la réalité mathéma- tique donne 0,4 point. Toute réponse erronée enlève 0,1 point. L'absence de réponse n'est pas comptabilisée. Le total ne saurait être négatif.
On donne le cube ABCDEFGH, d'arête de lon- gueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et [CG]. Les éléments utiles de la gure sont don- nés ci-contre.
Le candidat est appelé à juger chacune des 10 armations suivantes.
A
B
C E D
F
G H
I
J
Armation VRAI ou FAUX
1. −−→
AC ·−→
AI = 1 2 2. −−→
AC ·−→
AI =−→
AI ·−−→
AB 3. −−→
AB ·−→
IJ =−−→
AB ·−→
IC 4. −−→
AB ·−→
IJ =AB×IC×cosπ 3
On utilise à présent le repère orthonormalA ; −−→
AB , −−→
AD , −−→
AE .
Armation VRAI ou FAUX
5. Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :8
><
>:
x = t+ 1 y = 2t
z = t , le paramètret décrivantR.
6. Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :8
>>
><
>>
>:
x = 1
2t+ 1 y = t+ 1
z = 1
2t+1 2
, le paramètret décrivant R 7. 6x−7y+ 8z−3 = 0 est une équation cartésienne
de la droite (IJ).
8. L'intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droite passant par l et par le milieu de l'ar ête [DC].
9. Le vecteur de coordonnées
−4 1 2
est un vecteur normal au plan (FIJ).
10. Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à1 .
Exercice 15 Antilles-Guyane septembre 2004 spécialité
Pour chacune des six armations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justiant le choix eectué.
1) Le PGCD de 2 004 et 4 002 est 6.
2) Si petq sont deux entiers naturels non nuls,2pq−1est divisible par2p−1et par2q−1. 3) Pour toutn deN∗, 2n−1 n'est jamais divisible par 9.
4) L'ensemble des couples d'entiers solutions de l'équation : 24x+ 35y= 9 est l'ensemble des couples :
(−144 + 70k ; 99−24k) oùk ∈Z.
5) Soient A et B deux points distincts du plan ; si on notef l'homothétie de centre A et de rapport 3 et g l'homothétie de centre B et de rapport1
3 alorsg◦f est la translation de vecteur−−→
AB. .
6) Soit s la similitude d'écriture complexez0 =iz+ (1−i), l'ensemble des points invariants des est une droite.
Exercice 16 Antilles-Guyane septembre 2004
Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctement justiée. Les trois questions sont indépendantes.
1) La probabilité pour un individu d'une population d'être atteint d'une maladie M est égale à 0,003. Un test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut dire que
• si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50 % des cas ;
• le test est positif pour 3 % des personnes saines.
Quelle est à 0,01 près la probabilité d'avoir la maladie M lorsque le test est positif ?
¤ 0,95 ¤ 0,9 ¤ 0,15 ¤ 0,05 2) On considère une planche à clous de ce type :
clou B
0,3 0,7
R1 R2 R3 R4
On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l'un des quatre récipients notés R1, R2, R3 et R4. À chaque étape, la bille a une probabilité de 0,3 d'aller vers la gauche et 0,7 d'aller vers la droite (gauche et droite relatives à l'observateur).
On note p1 la probabilité que la bille tombe dans le bac R1 ou dans le bac R3 et p2 la probabilité que la bille tombe dans le bac R2 ou dans le bac R4.
Que valentp1 et p2?
¤ p1 =p2 = 0,5 ¤ p1 = 0,216 etp2 = 0,784
¤ p1 = 0,468 etp2 = 0,532 ¤ p1 = 0,468 et p2 = 0,432.
3) Les 1 000 premières décimales deπ sont données ici par un ordinateur : 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3233066470 9384460959 0582235725 3594085234 8111745028 4102701930 5211055596 4462294895 4930301964 4288109756 6593344612 8475648233 7867831652 7120190914 5648566923 4603486534 5432664825 3393607260 2491412737 2450700660 6315580574 8815209209 6282925409 1715364367 8925903600 1133053054 8820466525 3841469519 4151160943 3057270365 7595919530 9218611738 1932611793 1051185480 7446297996 2749567355 8857527240 9122793318 3011949129 8336733624 4065664308 6025394946 3952247371 9070217986 0943702770 5392171762 9317675238 4674818467 6691051320 0056812714 5263560827 7857753427 9778900917 3637178721 4684409012 2495343054 6549585371 0507922796 8925892354 2019956112 1290219608 6403441815 9813629774 7713099605 1870721134 9999998372 9780499510 5973173281 6096318599 0244594553 4690830264 2522300253 3446850352 6193110017
1010003137 8387528865 8753320830 1420617177 6691473035 9825349042 8755460731 1595620633 8235378759 3751957781 8577805321 7122600661 3001927876 6111959092 1642019894
En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau suivant :
Valeurs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106
Avec un tableur, on a simulé 1 000 expériences de 1 000 tirages aléatoires d'un chire compris entre 0 et 9.
Pour chaque expérience, on a calculéd2 =
k=9X
k=0
(fk−0,1)2 où fk représente, pour l'expé- rience, la fréquence observée du chirek.
On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile (d1 et d9), le premier et troisième quartile (Q1 et Q3) et la médiane (Me) :
d1 = 0,000 422 ; Q1 = 0,000 582 ; Me= 0,000 822 ; Q3 = 0,001 136 ; d9 = 0,001 45.
En eectuant le calcul ded2 sur la série des 1 000 premières décimales deπ, on obtient :
¤ 0,000 456 ¤ 0,004 56 ¤ 0,000 314
Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu'il s'agit des décimales deπ, fait l'hypo- thèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie.
Il prend un risque de 10 % de rejeter cette hypothèse quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ?
¤ Oui ¤ Non ¤ Il ne peut pas conclure.
Exercice 17 Nouvelle Calédonie novembre 2004
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.)
Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse.
Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le candidat doit inscrire V (vrai) ou F (faux ) dans la case correspondante.
Aucune justication n'est demandée. Pour chaque question, 3 réponses correctes rapportent 1 point et 2 réponses correctes rapportent12 point.
B A
C D
E
F G H
Soit ABCDEFGH un cube de côté 1.
On choisit le repère orthonormal
A ; −−→
AB , −−→
AD , −−→
AE
On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG].
L est le barycentre de{(A, 1) ; (B, 3)}.
Soit (π) le plan d'équation4x−4y+ 3z−3 = 0. 1) Les coordonnées de L sont :
a.1
4 ; 0 ; 0
b. 3
4 ; 0 ; 0
c.2
3 ; 0 ; 0
2) Le plan (π) est le plan
a. (GLE) b. (LEJ) c. (GFA)
3) Le plan parallèle au plan (π) passant par I coupe la droite (FB) en M de coordonnées a.1 ; 0 ; 1
4
b. 1 ; 0 ; 1 5
c.1 ; 0 ; 1 3
4) a. Les droites (EL) et (FB) sont sécantes en un point N qui est le symétrique de M par rapport à B.
b. Les droites (EL) et (IM) sont parallèles.
c. Les droites (EL) et (IM) sont sécantes.
5) Le volume du tétraèdre FIJM est : a. 1
36 b. 1
48 c. 1 24
Exercice 18 Nouvelle Calédonie mars 2005
L'exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose 3 armations. Pour chacune d'elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante.
Aucune justication n'est demandée.
Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse.
Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonication de 0,25 point est ajoutée chaque fois qu'une question est traitée correctement en entier (c'est- à-dire lorsque les réponses aux 3 armations sont exactes). 2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait de 0,25 point.
L'abstention n'est pas prise en compte, c'est- à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point.
Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée â zéro.
Dans l'exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormalO, −→ u , −→
v .
Pour toutn entier naturel non nul, pour tout réel θ, eiθn est égal à :
einθ ¤ Faux¤ Vrai
Q1 cos (θn) +isin (θn) ¤ Faux¤ Vrai
cos(nθ) +isin(nθ) ¤ Faux¤ Vrai
La partie imaginaire du nombrez est égale à :
z+z
2 ¤ Faux¤ Vrai
Q2 z−z
2i ¤ Faux¤ Vrai
z−z
2 ¤ Faux¤ Vrai
Soit z un complexe tel que z =x+iy(x ety réels). Siz est un imaginaire pur, alors
|z|2 est égal à :
y2 ¤ Faux¤ Vrai
Q3 −y2 ¤ Faux¤ Vrai
−z2 ¤ Faux¤ Vrai
A, B et C sont des points d'axes respectivesa, b et c telles que b−a
c−a =i√ 3, alors :
BC = 2 AC ¤ Faux¤ Vrai
Q4 −−→
AB , −−→
AC= π
2 + 2kπ, k ∈Z ¤ Faux¤ Vrai
−−→CA · −−→
CB =CA2 ¤ Faux¤ Vrai
Exercice 19 Amérique du nord Juin 2005
Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspon- dant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de ré- ponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.
1) Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d'axes respectives
−2 + 3i, −3−i et2,08 + 1,98i. Le triangle ABC est :
(a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle (c) : rectangle et isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle
2) À tout nombre complexez 6=−2, on associe le nombre complexez0déni par :z0 = z−4i z+ 2. L'ensemble des pointsM d'axez tels que|z0|= 1 est :
(a) : un cercle de rayon 1 (b) : une droite
(c) : une droite privée d'un point (d) : un cercle privé d'un point 3) Les notations sont les mêmes qu'à la question 2.
L'ensemble des pointsM d'axez tels quez0 est un réel est :
(a) : un cercle (b) : une droite
(c) : une droite privée d'un point (d) : un cercle privé d'un point
4) Dans le plan complexe, on donne le point D d'axe i. L'écriture complexe de la rotation de centre D et d'angle−π
3 est : (a) : z0 = 1
2 −i
√3 2
!
z−
√3 2 +1
2i (b) : z0 = −1 2 +i
√3 2
!
z−
√3 2 +1
2i (c) : z0 = 1
2 −i
√3 2
!
z−
√3 2 − 1
2i z0 = 1 2 −i
√3 2
!
z+
√3 2 + 1
2i
Exercice 20 Antilles-Guyane Juin 2005
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse choisie.
Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette biblio- thèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.
40 % des écrivains de romans policiers sont français et 70 % des écrivains de biographies sont français.
Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1) La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
a. 0,4 b. 0,75 c. 1
150
2) Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :
a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4
3) La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est
a. 1,15 b. 0,4 c. 0,3
4) La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est :
a. 0,9 b. 0,7 c. 0,475
5) La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est français est :
a. 4
150 b. 12
19 c. 0,3
6) Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu'il ait choisi au moins un roman policier est :
a. 1−(0,25)20 b. 20×0,75 c. 0,75×(0,25)20
Exercice 21 Asie Juin 2005
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormalO,−→ ı ,−→
,−→
k . On appelleDla droite d'équa- tions paramétriques :
8>
<
>:
x = 1 + 2t y = 2−t z = −3−t
etP le plan d'équation cartésiennex+ 2y−3z−1 = 0. Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule armation est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la ligne et la lettre correspondant à l'armation choisie.
Aucune justication n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse in- exacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Numéro
de la Armation A Armation B Armation C
ligne
Le point Le point Le point
1. M de coordonnées(−1 ; 3 ; 2) N de coordonnées(2 ; −1 ; −1) R de coordonnées(3 ; 1 ; −4)
appartient àD appartient àD appartient àD
Le vecteur Le vecteur Le vecteur
2. −→
u de coordonnées(1 ; 2 ; −3) −→
v de coordonnées(−2 ; 1 ; 1) −→
w de coordonnées(3 ; 1 ; −4) est un vecteur directeur deD est un vecteur directeur deD est un vecteur directeur deD 3. Dest incluse dansP Dest strictement parallèle àP Dest sécante àP
Le point Le point Le point
4. G de coordonnées(1 ; 3 ; −2) G de coordonnées (1 ; 3 ; 2) G de coordonnées(1 ; 3 ; −1)
appartient àP appartient àP appartient àP
Le plan Q1d'équation carté- Le plan Q2d'équation carté- Le plan Q3d'équation carté- 5. siennex+ 2y−3z+ 1 = 0 sienne4x−5y−2z+ 3 = 0 sienne−3x+ 2y−z−1 = 0
est perpendiculaire àP est perpendiculaire àP est perpendiculaire àP La distance du point T de coor- La distance du point T de La distance du point T de coor- 6. données(−1 ; −3 ; 2) coordonnées(−1 ; −3 ; 2) données(−1 ; −3 ; 2)au
planP est :√
14 au planP est : 14 planP est :2√
3
Exercice 22 Liban juin 2005
Pour chacune des huit armations (entre guillemets) ci -dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l'ab- sence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.
Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.
1) Sia est un nombre réel quelconque etf une fonction dénie et strictement décroissante sur[a ; +∞[, alors lim
x→+∞f(x) =−∞.
2) Soient f et g deux fonctions dénies sur[0 ; +∞[, g ne s'annulant pas : Si lim
x→+∞f(x) = −∞ et si lim
x→+∞g(x) = +∞ alors lim
x→+∞
f(x)
g(x) =−1. 3) Si fest une fonction dénie sur[0 ; +∞[ telle que 0 6 f(x) 6√
x sur[0 ; +∞[ alors
x→+∞lim f(x)
x = 0
4) On considère un repèreO, −→ ı , −→
du plan.
Sif est une fonction dénie surR∗ alors la droite d'équationx= 0 est asymptote à la courbe représentative def dans le repèreO, −→
ı , −→
.
5) La fonction f dénie sur R par f(x) = (x2+ 3x+ 1)ex est une solution sur R de l'équation diérentielley0−y= (2x+ 3)ex .
6) Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B aectés respectivement des coecients 3 et−2.
Si G est le barycentre des points A, B et C aectés respectivement des coecients 3,−2 et1 alors G est le milieu du segment [CI] .
7) Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C aectés respectivement des coecients3, −2 et1
L'ensemble des pointsM du plan tels quek3−−→
MA −2−−→
MB +−−→
MC k= 1 est le cercle de centre G et de rayon 1 .
8) Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne parM un point quelconque du plan.
Le produit scalaire−−→
MA ·−−→
MB est nul si et seulement siM = A ou M = B .
Exercice 23 Polynésie juin 2005
Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspon- dant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
L'espace est rapporté à un repère orthonormalO,−→ ı ,−→
,−→ k . On considère les points A(3 ; 1 ; 3) et B(−6 ; 2 ; 1).
Le planP admet pour équation cartésiennex+ 2y+ 2z = 5. 1) L'ensemble des pointsM de l'espace tels que4−−→
MA −−−→
MB = 2 est : a. un plan de l'espace b. une sphère c. l'ensemble vide.
2) Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le planP sont : a.11
3 ; 1 3 ; 1
3
b. 8 3 ; 1
3 ; 7 3
c.7 3 ; −1
3 ; 5 3
. 3) La sphère de centre B et de rayon 1 :
a. coupe le planP suivant un cercle ; b. est tangente au planP;
c. ne coupe pas le planP.
4) On considère la droiteD de l'espace passant par A et de vecteur directeur−→
u (1 ; 2 ; −1) et la droiteD0 d'équations paramétriques
8>
<
>:
x = 3 + 2t y = 3 +t z = t
(t ∈ R). Les droitesD etD0 sont :
a. coplanaires et parallèles b. coplanaires et sécantes c. non coplanaires.
5) L'ensemble des pointsM de l'espace équidistants des points A et B est :
a. la droite d'équations paramétriques
8>
>>
<
>>
>:
x = −3 2 −t
y = 3
2 −7t z = 2 +t
(t ∈R).
b. le plan d'équation cartésienne9x−y+ 2z+ 11 = 0. c. le plan d'équation cartésiennex+ 7y−z−7 = 0.
Exercice 24 La réunion juin 2005
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune.
Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justication n'est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donner trois propositions ou plus d'une question, ou bien n'en donner aucune, ne rapporte aucun point.
Si, par application de ce barème, le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à zéro.
1) Les suites suivantes sont convergentes : a. 2n
n2005
n>0 b.
2n+ (−1)n√ n n+ 1
n∈N
c. nsin 1 n
n>0 d.
√ n lnn
n>1
2) On considère trois suites(un), (vn)et(wn)ayant, pour tout entier natureln, les propriétés suivantes :un6vn6wn, lim
n→+∞(un) =−1 et lim
n→+∞(wn) = 1. Alors :
a. lim
n→+∞(vn) = 0.
b. La suite(un) est minorée.
c. Pour toutn de N, on a :−16vn 61.
d. On ne sait pas dire si la suite(vn)a une limite ou non.
3) Une suite(un)est dénie sur N par
¨ u0 = 1,5
un+1 = 2un−1pour tout entier natureln.
a. La suite(un)converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équations y=x ety = 2x−1.
b. La suite(vn), dénie surN parvn=un−1, est géométrique.
c. La suite(vn)est majorée.
d. La suite(wn), dénie surN parwn= ln (un−1), est arithmétique.
4) Deux suites (xn) et(yn) sont dénies pourn >0 par les relations : xn= 1
n + 1
n+ 1 +· · ·+ 1
2n etyn= 1
n+ 1 + 1
n+ 2 +· · ·+ 1 2n. a. Les suites(xn) et(yn) sont toutes les deux croissantes.
b. x3 = 19
20 ety3 = 37 60.
c. Les suites(xn) et(yn) ne sont pas majorées.
d. Les suites(xn) et(yn) sont adjacentes.
Exercice 25 France métropolitaine Juin 2004
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 1/2 point l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal , on donne le point S(1 ; −2 ; 0) et le plan P d'équationx+y−3z+ 4 = 0.
1) Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire au plan P est :
A:
8>
<
>:
x = 1 +t y = 1−2t z = −3
, t∈R B:
8>
<
>:
x = 2 +t y = −1 +t z = 1−3t
, t∈R
C:
8>
<
>:
x = 1 +t y = −2−2t z = 3t
, t∈R D:
8>
<
>:
x = 2 +t y = −1 +t z = −3−3t
, t∈R.
2) Les coordonnées du point d'intersection H de la droite D avec le plan P sont :
A : (−4 ; 0 ; 0) B: 6
5 ; −9 5 ; 3
5
!
C: 7
9 ; −2 3 ; 1
3
!
D; 8
11; −25 11 ; 9
11
!
3) La distance du point S au plan P est égale à : A:
√11
3 B: 3
√11 C: 9
√11 D: 9 11
4) On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L'intersection de la sphère S et du plan P est égale
A : au point I(1 ; −5 ; 0)
B : au cercle de centre H et de rayonr= 3
s10 C : au cercle de centre S et de rayonr = 2 11 D : au cercle de centre H et de rayonr= 3√
10 11 .
Exercice 26 Amérique du nord Juin 2004
Dans le plan ane, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB]
et J le centre de gravité de ABC.
Pour tout réelm, diérent de−1
3, on noteGm le barycentre du système de points pondérés Sm ={(A, 1), (B, m), (C, 2m)}.
Pour tout pointM du plan on note−−→
VM = 3−−→
MA −−−→
MB −2−−→
MC .
Pour chacune des six armations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F).
Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené à 0.Répondre aux armations sur la page annexe.
Armation V ou F
G1 est le milieu du segment [CI].
G1 est barycentre de
(
(J, 2), C, 2 3
!)
Pour tout pointM , −−→
VM =−−→
AB + 2−−→
AC . Pour toutm, distinct de−1
3, −−−→
AGm est colinéaire à−−−−→
AG−1 . IBG−12 est un triangle rectangle.
Pour tout pointP de (AG−1), il existe un réelm tel queP = Gm.
Exercice 27 Antilles-Guyane Juin 2004
noindent Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte1 point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il sera retiré0,5 point par réponse fausse.
On ne demande pas de justier. La note nale de l'exercice ne peut être inférieure à zéro.
On posez =−È2 +√
2 +iÈ2−√ 2. 1) La forme algébrique dez2 est :
A: 2√
2 B : 2√
2−2i√
2 C: 2 +√
2 +i2−√
2 D : 2√
2 + 2i√ 2 2) z2 s'écrit sous forme exponentielle :
A: 4eiπ4 B: 4e−iπ4 C: 4ei3π4 D: 4e−i3π4 3) z s'écrit sous forme exponentielle :
A: 2ei7π8 B: 2eiπ8 C: 2ei5π8 D: 2ei3π8 4)
È2 +√ 2 2 et
È2−√ 2
2 sont les cosinus et sinus de :
A: 7π
8 B: 5π
8 C: 3π
8 D: π
8
Exercice 28 Asie Juin 2004
À chacune des trois armations suivantes, répondre par VRAI ou par FAUX . Aucune justication n'est demandée.
Données Armations Réponses
f est la fonction dé- nie sur l'ensemble R des nombres réels par : f(x) = 1
1 +ex, C est la courbe représentative de f dans un repère du plan.
La tangente à C au point d'abscisse 0 est parallèle à la droite d'équationy=−1
4x.
G est le bary-
centre du système de points pondérés {(A; −1), (B; 1), (C; 4)}
L'application du plan dans lui-même qui à tout pointM associe le point M0 tel que
−−−→MM0 = −−−→
MA + −−→
MB + 4−−→
MC , est une homothétie de rapport−3.
f(x) =xsin 3x Les solutions de l'équation f(x) = 1
2x sont : 0 ; π 18+ 2kπ
3 ou 5π
18+ 2k0π
3, k et k0 sont des entiers relatifs.
Le barème est le suivant :
• Réponse exacte : 1 point.
• Réponse fausse : −0,5 point.
• Absence de réponse : 0 point.
• La note attribuée à l'exercice ne peut être négative.
Exercice 29 La Réunion Juin 2004
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Première partie
Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données : B1, 6 000 adresses, dont 120 sont erronées et 5 880 sont exactes,
B2, contenant 4 000 adresses, dont 200 sont erronées et 3 800 sont exactes.
1) On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6 000 réalisées à l'aide de B1. La probabilité qu'exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :
A :
120
3
+5 8807
6 000
10
B : 3
120 C : 10
3
!
×
120 6 000
3
×
5 880 6 000
7
D : 10 3
!
×
3
120
3
×
7
5 880
7
2) Parmi les 10 000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l'étiquette comporte une adresse exacte, la probabilité qu'elle ait été réalisée à l'aide de B1 est :
A :0,98 B : 0,4×0,95
0,6×0,98 + 0,6×0,02 C :0,6×0,98 D : 0,6×0,98
0,6×0,98 + 0,4×0,95 Deuxième partie
La durée de vie, exprimée en heures, d'un robot jusqu'à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilitépde durée de vie sans vieillissement dénie sur l'intervalle [0 ; +∞[ (loi exponentielle de paramètreλ= 0,000 5). Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l'instantt est :
p([0 ; t[) =Z t
0 λe−λxdx.
1) La probabilité qu'un robot ait une durée de vie supérieure à 2 500 heures est : A : e−25002000 B : e54 C : 1−e−25002000 D : e−20002500 2) La durée de vie moyenne d'un robot ménager est donnée par la formule :
E= lim
t→+∞
Z t
0 λxe−λxdx.
a. L'intégraleZ t
0 λxe−λxdx est égale à : A :λt2
2e−λt B : −te−λt−e−λt λ +1
λ C :λte−λt−λe−λt−λ D :te−λt−e−λt
−λ b. La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :
A : 3 500 B : 2 000 C :2 531,24 D : 3 000
Exercice 30 France métropolitaine Septembre 2003
Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal directO, −→ ı , −→
. On considère les points A etΩd'axes respectives :a =−1 +√
3 +i etω =−1 + 2i.
On appeller la rotation de centreΩ et d'angle 2π
3 eth l'homothétie de centreΩet de rapport
−1 2.
1) Placer sur une gure les points A etΩ, l'image B du point A parr, l'image C du point B parr et l'image D du point A parh.
2) On note b, cet d les axes respectives des points B, C et D.
Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 armations, dont chacune débute dans la pre- mière colonne et s'achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.
Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces armations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant gurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).
1. |a−ω| 2 4 √
3−i 2. arg(a−ω) −5π
6 47π
6
π 6
3. −→ v , −−→
ΩC = arg[(ω−i)] −−→ v , −−→
CΩ 2π 3
4. ω = 1
3(a+b+c) a+b+c b−2i 5. b−d
a−d=
√3
2 i −
√3 3 i
√3 3 i
l'image de Ωpar l'image de Ω par l'image de Ωpar la 6. Le point D est la translation l'homothétie de centre la rotation de centre
de vecteur 1 2
−→AΩ A et de rapport 3
2 B et d'angle− π 6
