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D2909. Demi-cercle inscrit dans un quadrilatère Problème proposé par David Draï

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Academic year: 2022

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D2909. Demi-cercle inscrit dans un quadrilatère Problème proposé par David Draï

Le quadrilatère ABCD est tel que le milieu du côté BC est le centre d’un demi-cercle tangent aux trois

droites [AB], [CD] et [DA].Exprimer la longueur du côté BC en fonction des longueurs des cötés AB et CD .

L'homogénéité permet de supposer que le rayon du demi-cercle est égal à un.

Soient E, F, T les points de contact du demi cercle avec AB, CD, et AD . Soit O le milieu de BC.

Les 3 angles EOB, TOA et FOD ont pour somme 90°.

Les tangentes u, v, w de ces 3 angles vérifient : uv+vw+wu = 1.

Soit x = AB et y = CD, v = EA = BA – BE = x – u, et w = FD = CD – CF = y – u . La relation u(x-u) + (x-u)(y-u) + (y-u)u – 1 = 0 se résume à –u² +xy – 1 = 0 1+u² = xy Or 1+u² = 1/ cos²(EOB) et BC = 2/cos(EOB) = 2√(xy) = 2√(AB*CD)

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