Enoncé D2909 (Diophante)
Demi-cercle inscrit dans un quadrilatère
Le quadrilatère ABCD est tel que le milieu de [BC] est le centre d’un demi-cercle tangent aux trois côtés [AB], [CD] et [DA].
Exprimer la longueur BC en fonction de AB etCD.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le cercle centré au milieuO deBC touche [AB], [CD] et [DA] enE,F et I respectivement. [OA] et [OD] sont bissectrices des angles IOE et F OI respectivement.
La médiatrice deBCest axe de symétrie pour ce segment et pour le cercle ; ainsi les tangentes [AB] et [CD] se correspondent dans cette symétrie, d’où égalité des anglesOBE et F CO, puis de leurs complémentaires EOB et COF.
On en tire l’angle
AOB=EOB+IAE/2 =EOB+ (π−F OI−EOB−COF)/2
=EOB+π/2−F OD−COF =ODF.
Les angles en B et O du triangle AOB sont respectivement égaux aux anglesC etDdu triangleODC. Ces deux triangles sont semblables, dans le rapport AB/OC =OB/DC =AO/OD.
On en déduitOB.OC =AB.DC, puis BC= 2√
AB.CD.
On remarque que les longueursAB et CD dépendent du choix de la tan- gente [AD] et du rayon du cercle, alors que leur produit ne dépend ni de l’un ni de l’autre.
