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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Seconde 5 Devoir maison : Construction d'un pentagone régulier

A rendre pour le 11/12/13

Partie I :

ABC est un triangle isocèle en A, 

BAC

= 36° et BC = 4 cm. La bissectrice de 

ABC

coupe [AC] en D et celle de 

BDC

coupe [BC] en E.

1) Faites une figure précise en prenant BC = 4 cm.

2) a) Démontrer que les triangles ADB, DBC, EDC et BDE sont isocèles.

b) En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

3) On pose AB = AC =

x

a) Démontrer que DC =

x

– 4 et que EC = 8 –

x

b) A l'aide du théorème de Thalès, montrer que :

8

– x

4

=

x –

4

x c) En déduire que (

x

– 2)2 = 20 et que

x

= 2 + 2

5

4) On projette orthogonalement D en H sur [AB].

Démontrer que cos 36° =

1

5

4

Partie II :

Un pentagone régulier est un polygone régulier à cinq côtés.

(C) est un cercle de centre O et de rayon 4 cm, [AB] est un diamètre. I est le milieu de [OA]

et le rayon [OC] est perpendiculaire au diamètre [AB]. Le cercle de centre I passant par C coupe [OB] en J et le cercle de centre C passant par J coupe le cercle (C) en M.

1) a) Calculer la valeur exacte de CI et en déduire que : OJ = 2

5

– 2

b) Démontrer que CJ = CM = 2

10

2

5

2) On note K le projeté orthogonal de O sur [CM]

a) Pourquoi K est-il le milieu de [CM] ?

b) Démontrer que OK = 1 +

5 et que cos 

COK

=

1

5

4

c) En tenant compte du résultat de la question 4 de la partie I, en déduire que

̂

COM

= 72° et que [CM] est le côté d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle (C).

3) a) Refaire la figure précédente en prenant 4 cm comme rayon du cercle (C).

b) Connaissant CM, terminer la construction du pentagone régulier.

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