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ϴ +2 α +2 β + ϴ = π α = π /2- β - ϴ π /2- β - ϴ β + ϴ ϴ ϴ π /2- ϴ π /2- ϴ α β β α Solution D2909. Demi-cercle inscrit dans un quadrilatère

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D2909. Demi-cercle inscrit dans un quadrilatère

Le quadrilatère ABCD est tel que le milieu du côté BC est le centre d’un demi-cercle tangent aux trois droites [AB], [CD] et [DA].Exprimer la longueur du côté BC en fonction des longueurs des côtés AB et CD.

Solution

Le segment BC et le cercle admettent la médiatrice de BC comme axe de symétrie donc (ABO)=(OCD)=

π/2 - ϴ

Les tangentes issues de A et de D définissent des arcs au centre identiques respectivement

α et β

Alors il y a l’égalité (COD) =

ϴ + β

et (BAO) =

π/2 – α

Or en O,

ϴ+2α+2β+ϴ = π

, donc

α = π/2-β-ϴ

, donc(BAO) =

π/2 – ( π/2-β-ϴ ) = β+ϴ

On constate que(BAO) = (COD) =

ϴ + β

Les triangles BAO et COD ayant 2 angles égaux sont semblables.

Cela permet d’écrire l’égalité relative à leurs côtés respectifs : AB/OB = 0C/CD donc AB.CD = OB.OC= (BC/2)²

D’où la relation :

BC = 2

√𝑨𝑩. 𝑪𝑫

ϴ

ϴ ϴ

α ϴ

ϴ

ϴ

α

ϴ

ϴ

α

ϴ

ϴ

β

ϴ

ϴ

β

ϴ

ϴ

π/2-ϴ

ϴ ϴ

π/2-ϴ

ϴ ϴ

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