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On sait que le symétrique de l'orthocentre H par rapport au côté BC est sur le cercle circonscrit, ou que le cercle symétrique du cercle circonscrit par rapport à BC passe par H

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Academic year: 2022

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(1)

D1993. La saga de l'angle de 60° (11ième épisode)

Soit un triangle ABC acutangle tel que AB > AC. Les points I et H sont respectivement le centre du cercle inscrit et l’orthocentre. Démontrer que l’on a l’égalité 2angle(AHI) = 3angle(ABC) si et seulement si angle(BAC) = 60°.

On sait que le symétrique de l'orthocentre H par rapport au côté BC est sur le cercle circonscrit, ou que le cercle symétrique du cercle circonscrit par rapport à BC passe par H.

Soit A' le symétrique de A. On peut dire le cercle A'BC passe par H , ou le cercle A'BH passe par C.

Les angles CBA et CBA' sont égaux et les angles IBA et IBC sont égaux, de sorte que l'angle A'BI vaut 3/2(angle ABC).

L' égalité 2angle(AHI) = 3angle(ABC) équivaut à l'égalité des angles AHI et A'BI ou à :

A'HI et A'BI sont supplémentaires, ou A'HIB sont cocycliques , ou I est sur le cercle A'BH, ou I est sur le cercle A'BC, ou BÎC = 180° – BÂ'C, ou BÎC = 180° – BÂC.

D'autre part BÎC = 180° – B/2 – C/2 =180° – (180° – Â)/2 = 90° + Â/2.

L' égalité 2angle(AHI) = 3angle(ABC) équivaut à 180°- = 90° +Â/2 ou 90° = 3/2. ou pour finir, à Â=60°.

L' égalité 2angle(AHI) = 3angle(ABC) équivaut à Â=60°

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