Demi-cercle inscrit dans un quadrilatère
Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est tel que le milieu de [𝐵𝐶] est le centre d’un demi-cercle tangent aux trois côtés [𝐴𝐵], [𝐶𝐷] et [𝐷𝐴].
Exprimer la longueur 𝐵𝐶 en fonction de 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷.
Solution
Notons 𝑂 le centre du demi-cercle et traçons les segments de droite indiqués sur la figure suivante :
A est un point extérieur au cercle, [𝐸𝐴] et [𝐸𝐺] sont deux segments tangents au cercle avec 𝐸 et 𝐺 sur le cercle, donc 𝐴𝐸 = 𝐴𝐺.
De même, on a 𝐷𝐹 = 𝐷𝐺.
On a donc 𝐸𝐴𝑂P = 𝐺𝐴𝑂P = 𝜙 et 𝐺𝐷𝑂P = 𝐹𝐷𝑂P = 𝜓.
Comme 𝑂 est le milieu de [𝐵𝐶] les triangles 𝐵𝑂𝐸 et 𝐶𝑂𝐹 sont rectangles avec 𝑂𝐸 = 𝑂𝐹 et 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶.
Ils sont donc superposables.
On a donc également 𝐸𝐵𝑂P = 𝐹𝐶𝑂P = 𝜃.
En considérant la somme des angles dans le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷, on voit que : 2𝜙 + 2𝜓 + 2𝜃 = 2𝜋, d’où : 𝜙 + 𝜓 + 𝜃 = 𝜋.
Cela entraîne que les trois triangles 𝐴𝑂𝐵, 𝐴𝐷𝑂 et 𝑂𝐷𝐶 ont tous les trois les mêmes angles 𝜙, 𝜓 et 𝜃.
Ils sont semblables.
En considérant les triangles 𝐴𝑂𝐵 et 𝑂𝐷𝐶, on voit que l’on a : \]
\^
=
_^_` , ce que l’on peut réécrire : 𝐵𝐴 × 𝐶𝐷 = 𝐵𝑂 × 𝐶𝑂.
Comme 𝐵𝑂 = 𝑂𝐶 =1
2𝐵𝐶 , on a 𝐵𝐴 × 𝐶𝐷 =1
4𝐵𝐶d , ce qui entraîne que ∶ 𝑩𝑪 = 𝟐√𝑨𝑩 × 𝑪𝑫 .
