D257 – L’aire du décagone
Calculer l’aire d’un décagone qui est inscrit dans un cercle et qui a cinq côtés consécutifs de longueur égale au nombre d’or et les cinq autres côtés de longueur égale à l’inverse de ce nombre d’or.
Solution par P. Gordon
Notons a le nombre d’or = (1 + √5) / 2 et a' son inverse = (√5 – 1) / 2
Notons θ le demi-angle au centre des secteurs de côté a et θ' le demi-angle au centre des secteurs de côté a'.
On a :
1) θ + θ' = π/5
Par ailleurs, on a (r étant le rayon du cercle) :
sin θ = a / 2r sin θ' = a' / 2r Donc :
2) a / sin θ = a' / sin θ'
Résoudre le système des deux équations (1) et (2) en θ et θ' équivaut à calculer les angles d'un triangle dont on connaît deux côtés (a et a') et l'angle qu'ils forment (4π/5, supplément de θ + θ'). On peut calculer le troisième côté, soit b, par la loi des cosinus, puis revenir à θ et θ' par la loi des sinus.
On trouve :
b² = (7 + √5) / 2
D'où l'on déduit sint θ, sin θ' et r par la loi des sinus : a / sin θ = a' / sin θ' = b / sin 4π/5 = 2r.
On trouve :
4r² = (a / sin θ)² = (a' / sin θ')² = (40 + 12 √5) / 5 = 13,366 D'où :
2r = a / sin θ = a' / sin θ' = 3,656
ce qui permet de calculer (puisque l'on connaît a = nombre d'or et a' son inverse) : θ = 26,27° = 0,458 radians
θ' = 9,73° = 0,17 radians, r = 1,828
On peut alors calculer l'aire du décagone.
Elle est la somme de 5 secteurs de rayon 1,828 et d'angle au centre 2 × 26,27°, plus 5 autres de même rayon et d'angle au centre 2 × 9,73°.
On trouve donc :
S = 5/2 × 1,828² × (sin 52,53°+ sin 19,46°) Soit numériquement :
S = 9,414
