D1990. Un zeste de calcul
Soit un triangle ABC dont les côtés BC,CA et AB ont pour longueurs a,b,c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A. La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R. Soit S le point symétrique de R par rapport à (L). Calculer la longueur du segment AS en fonction de a,b,c.
Solution proposée par Jean Nicot
On note P’ l’intersection de AC et PR, et Q’ l’intersection de AB et QR.
Soit le demi-angle en A. On a égalité des angles BAC, PP’C et QQ’B. Les angles APP’ et AQQ’ valent donc. Le triangle PQR est isocèle et PRQS est un losangede centre H.
AP = AB cos = c cos et AQ = AC cos = b cos
AH = (AP+AQ)/2 = ½ (b+c) cos et PH =-|AP-AQ|/2 = ½ |b-c| cos
RH = PH tg = ½ |b-c| sin
AS²=AR²=((b+c)²cos²(b-c)²sin²=1/4 (b²+c²+2bc cos2)=1/4 (2b²+2c²- a²) On voit que AS =1/2 √𝟐(𝒃𝟐+ 𝒄𝟐) − 𝒂²) est la longueur de la médiane issue de A.
S est du côté de C si b > c et AS est la médiane donc BS=SC et AR est la symédiane.