ABCD est un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle (Γ). Un point X intérieur à ce quadrilatère se projette sur les côtés AB,BC,CD et DA respectivement aux points P,Q,R et S .
Déterminer la position de X tel que le périmètre de PQRS est minimal.
Par analogie avec le problème du triangle de périmètre minimal inscrit dans un triangle acutangle, construisons les symétrique P1 et P2 de P par rapport à BC et DA, puis les symétriques S1 et P3 de S et P2 par rapport à CD. La ligne brisée P1QRS1P3 a pour longueur le périmètre de PQRS, et sera minimale, pour P donné, si Q, R et S1 sont alignés sur P1P3 ; donc si les droites PQ et QR sont symétriques par rapport à BC (donc à XQ), QR et RS par rapport à XR, RS et SP par rapport à XS, SP et PQ par rapport à XP. En d’autres termes, XQ est bissectrice de PQR, XR de QRS, XS de RSP et XP de SPQ ; ou encore, le quadrilatère PQRS est circonscriptible à un cercle de centre X.
Les quadrilatères XPBQ, XQCR, XRDS et XSAP étant inscriptibles, nous avons les égalités angulaires XPQ=XBQ=XBC, XQP=XBP=XBA, et de même XQR=XCD, XRQ=XCB, XRS=XDA, XSR=XDC, XSP=XAB, XPS=XAD.
De plus AXB+XAB+XBA=π, BXC+XBC+XCB=π, donc
AXB+BXC=AXP+PXB+BXQ+QXC=ASP+PQB+BPQ+QRC ; or ASP=DSR, QRC=SRD, PQB+PBQ=π-ABC et DSR+SRD=π-ADC et enfin ABC+ADC=π.
Donc AXB+BXC=π : X appartient à la diagonale AC ; on montrerait de la même façon que X appartient BD : X est donc le point de concours des diagonales.
