Diophante D907 Un classique dans les minima
ABCD est un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle (Γ).
Un point X intérieur à ce quadrilatère se projette sur les côtés AB,BC,CD et DA respectivement aux points P,Q,R et S .
Déterminer la position de X tel que le périmètre de PQRS est minimal.
Réponse:
Le quadrilatère APXS est inscrit dans un cercle
car les deux angles XPA et ASX sont droits donc supplémentaires.
Le théorème de Ptolémée donne
SP = (AP XS + SA XP) / AX = {cos(PAX) sin(XAS) + cos(XAS) sin(PAX)} AX = sin(PAS) AX.
De même, QR = sin(RCQ) XC.
Comme les angles PAS et RCQ sont supplémentaires, ils ont même sinus et SP + QR = sin(PAS) (AX + XC).
De même, PQ + RS = sin(QBP) (BX + XD).
Chacun des deux sinus est celui d'un angle au sommet du quadrilatère ABCD donné.
D'après l'inégalité triangulaire, (AX + XC) est minimal lorsque X est aligné avec A et C donc lorsqu'il appartient à la diagonale [A,C].
De même, (BX + XD) est minimal lorsque X est aligné avec B et D donc lorsqu'il appartient à la diagonale [B,D].
La position de X tel que le périmètre de PQRS est minimal, unique,
est celle du point d'intersection des deux diagonales du quadrilatère ABCD.
