Enoncé D1886 (Diophante) Une enveloppe pour deux lieux Un angle de grandeur constante et de sommet A coupe une droite donnée en deux points B et C. Q

Enoncé D1886 (Diophante) Une enveloppe pour deux lieux

Un angle de grandeur constante et de sommet Acoupe une droite donnée en deux points B etC.

Q₁ Quelle est l’enveloppe du cercle (ABC) ? Q₂ Quel est le lieu du centre de ce cercle ?

Q₃ Quel est le lieu du centre du cercle inscrit dans le triangleABC? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Question 1

Soit H la projection de A sur la droite BC. Je prends un système d’axes Hxy, Hx selon BC,Hy selonHA. Je prends |HA| comme unité de lon- gueur. Je note A l’angle (constant) (AB, AC) etγ l’angle (AH, AC).

Un cercle passant par B et C admet pour équation (x−tanγ)(x−tan(γ−A)) +y²−2yy_O= 0 ;

le paramètreyO, distance du centreO àBC, est déterminé par le passage du cercle (ABC) en A : tanγtan(γ−A) + 1−2y_O= 0, d’où

y_O= cosA/(cosA+ cos(2γ−A)).

L’équation de (ABC) est ainsi :

(cosA+ cos(2γ−A))(x²+y²)−2xsin(2γ −A))−2ycosA+ (cosA−cos(2γ−A) = 0.

Elle prend la formeUcos(2γ−A)−2xsin(2γ−A) =W, oùU =x²+y²−1, et W = cosA(1−x² + 2y−y²) ne dépendent pas de γ. La dérivation en γ traduit l’intersection du cercle (ABC) avec une position infiniment voisine :

−2Usin(2γ−A)−4xcos(2γ−A) = 0.

L’élimination de γ donne

W² =U²+ 4x²= (x²+y²+ 1)²−4y²= (x²+y²+ 2y+ 1)(−W)/cosA.

L’enveloppe se décompose alors en 0 =−W/cosA=x²+(y−1)², équation du cercle-point A, et

0 =x²+y²+ 2y+ 1 +WcosA) = sin²A(x²+y²) + (2y+ 1)(2−sin²A).

C’est l’équation d’un cercle (E), centré sur AH en E(0,1−2/sin²A), de rayon 2 cosA/sin²A, vu de A sous un angle π−2A car, quand B ou C part à l’infini, le cercle (ABC) dégénère en une des tangentes menées de Aà (E).

Question 2

On retrouve l’angle A en (OB, AH), d’où y_O =|OA|cosA. Cela place O sur la conique de foyer A, de directrice Hx, d’excentricité 1/cosA > 1, donc hyperbole. Les directions asymptotiques sont les perpendiculaires aux tangentes menées deA à (E).

L’équation esty² = cos²A(x²+ (y−1)²), soit x²−y²tan²A−2y+ 1 = 0, montrant que le centre a pour coordonnées (0,−cot²A) : c’est le milieu du segment AE.

Question 3

SoitI(x, y) le centre du cercle inscrit. Le rayon de ce cercle est y=|AI|sin(A/2), d’où l’équation du lieu :

y² = (x²+ (y−1)²) sin²(A/2).

C’est un arc d’hyperbole d’axeAH, de foyerA, de directriceHx, d’excen- tricité 1/sin(A/2). Il est limité aux points (±(1/2) cot(A/2),1/2), corres- pondant aux cas oùB ou C sont à l’infini.