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PROPAGATION DES SIGNAUX - corrigé des exercices
A. EXERCICES DE BASE I. Propagation et réflexions
1.a.
• Pour se propager jusqu'en x1, le signal met une durée t1 =!
x1
c = 200 ms.
• La représentation de s0(t) et s1(t) = s0(t - t1) a donc l'allure ci-dessous.
1.b.
• Il faut prendre la précaution de tenir compte d'une éventuelle réflexion si le signal se propage jusqu'à l'extrémité de la corde : la durée nécessaire est T =!
L
c = 500 ms (il est totalement réfléchi après 650 ms).
Le premier exemple est donc avant réflexion.
• Puisque le signal est simple, on peut se contenter de déterminer la position de trois points caractéris- tiques : le début est en xd = ct ; le sommet est en xs = c.(t - τ) ; la fin est en xf = c.(t - 3τ).
◊ remarque : la partie au début du signal est plus à droite (plus avancée), alors qu'en fonction du temps elle est plus à gauche (plus tôt).
• Pour formaliser plus systématiquement, si on note s0(t) = f(t) alors sx(t) = f
!
t"x c
#
$% &
'(. Ceci corres- pond aussi à st(x) = f
!
t"x c
#
$% &
'( en raisonnant en fonction de x a un instant donné (sans réflexion) ; on peut par ailleurs préférer exprimer à l'aide de x - ct (ici pour t2) :
◊ pour t -
!
x
c < 0 : ct < x ; st(x) = 0 ;
◊ pour 0 ≤ t -
!
x
c ≤ τ : c.(t - τ) < x < ct ; st(x) = -2
!
"
c. (x - ct) ;
◊ pour τ ≤ t -
!
x
c ≤ 3τ : c.(t - 3τ) < x < c.(t - τ) ; st(x) =
!
"
c. (3cτ + x - ct) ;
◊ pour 3τ ≤ t -
!
x
c : x < c.(t - 3τ) ; st(x) = 0.
• Lors de la réflexion, le support exerce sur la corde les forces nécessaires pour l'empêcher de bou- ger, donc cela crée un signal réfléchi de signe contraire, se propageant en sens inverse.
• Pour le calculer, on change le signe et on peut utiliser les expressions précédentes pour t3, en rem- plaçant la variable x (position étudiée) par x' = 2L - x (position à laquelle serait arrivé le signal s'il ne s'était pas réfléchi).
• Puisque le signal est simple, on peut se contenter de déterminer la position de trois points caractéris- tiques : le début est en xd = 2L - ct ; le sommet est en xs = 2L - c.(t - τ) ; la fin est en xf = 2L - c.(t - 3τ).
◊ remarque : la partie au début du signal réfléchi est plus à gauche (plus avancée dans le retour).
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• La représentation de s2(x) et s3(x) a donc l'allure ci-dessous.
2.
• On impose un signal de même forme que précédemment, mais en x1 = 40 cm.a) Représenter l'allure de la corde (en fonction de x) aux instants t2 = 200 ms et t3 = 800 ms.
b) Représenter l'allure des signaux s0(t) en x = 0, puis s4(t) en x4 = 70 cm.
II. Conditions aux limites
• On considère un tube cylindrique (variété de flûte) dans lequel se propagent des ondes sonores : ondes de compression longitudinale de l'air intérieur p(x, t). La célérité du son est c = 340 m.s-1 ; la lon- gueur du tube est L = 50 cm.
1.
• Calculer les fréquences propres pour un tube dont les deux extrémités sont fermées.2.
• Calculer les fréquences propres pour un tube dont l'une des deux extrémités est ouverte.III. Diffraction des sons
• On considère une pièce “insonorisée” dont les murs sont parfaitement “imperméables” aux ondes sonores. La porte a une largeur L = 90 cm. La célérité du son est c = 340 m.s-1.
• Lorsque la porte est ouverte, est-il possible d'entendre les bruits de la pièce voisine ? Pourquoi ?
B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT IV. ???
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