Soit un quadrilatère complet de sommets A, B, C, D, E, P. Les points I,J,K et L sont respectivement les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC,ADE,BEP et CDP. Les cercles BEP et CDP se coupent en un deuxième point Q.Les tangentes en B et en E au cercle BEP coupent respectivement les tangentes en C et en D au cercle CDP aux points M et N. Enfin la tangente en P au cercle BEP rencontre respectivement en S et T les tangentes en C et D au cercle CDP tandis que la tangente en P au cercle CDP rencontre les tangentes en B et E au cercle BEP en U et V.
A partir des 17 points ainsi tracés, identifier cinq pentagones inscriptibles dans cinq cercles qui ont tous un point commun. Justifiez vos réponses.
Si Q est le second point d’intersection des cercles circonscrits aux triangles BEP et CDP, les symétriques de Q par rapport à BE, BP(BC), EP(DE), d’une part, CD, CP(BC), DP(DE) d’autre part sont alignés (droites de Steiner): les quatre symétriques de Q par rapport AB, AC, BC et DE sont donc alignés : Q appartient donc également aux cercles circonscrits des triangles ABC et ADE. Dans une inversion de pole Q, les cercles ABC, ADE, BEP, CDP sont transformés en quatre droites formant un quadrilatère complet, et leurs centres en les symétriques de Q par rapport à ces droites : ces derniers étant alignés sur la droite de Steiner, les points I, J, K, L et Q sont cocycliques.
Notons A l’angle BAC et W l’intersection de la tangente en P à BEP avec le cercle CDP.
La similitude de centre Q, d’angle A transforme les cercles BEP en CDP, B en C, E en D, les droites BUM en CSM, ENV en DNT, UPV en SPT, et l’arc BP en l’arc CW.
BMC=A=BAC, donc A, B, C, M, Q sont cocycliques ; de même que A, D, E, N, Q.
UMS=BMC=A, UPS=π-A ; M,P, S et U sont cocycliques.
MQP=MQB-BQP=MCB-BEP ; MSP=MCP-CPS=MCB-CPW : comme BEP=CPW, MQP=MSP : P, Q, M, S, U sont cocycliques ; de même que P, Q, N, T, V.
