D183 CINQ PENTAGONES INSCRIPTIBLES
Soit un quadrilatère complet de sommets A,B,C,D,E et P.
P sur BC, D sur AC, E sur AB.
Les points I,J,K et L sont respectivement les centres C
Les cercles BEP et CDP se coupent en un deuxième point Q.Les tangentes en B et en E au cercle BEP coupent respectivement les tangentes en C et en D au cercle CDP aux points M et N.
la tangente en P au cercle BEP rencontre respectivement en S et T les tangentes en C et D au cercle CDP
la tangente en P au cercle CDP rencontre les tangentes en B et E au cercle BEP en U et V.
A partir des 17 points ainsi tracés, identifiez cinq pentagones inscriptibles dans cinq cercles qui ont tous un point commun.Justifiez vos réponses.
On sait que les cercles circonscrits aux 4 triangles d'un quadrilatère complet ont un point commun dénommé point de Miquel.
Le point Q appartient donc aussi aux cercles ABC et AED. Ce point Q est le centre de la similitude directe qui applique C sur B et D sur E. Elle applique le cercle vert QCDP et ses tangentes en C et D sur le cercle rouge QBEP et ses tangentes en B et E.
L'angle de toute droite avec son image dans cette similitude est égal, modulo Π, à l'angle de cette similitude, d'où les égalités : (QC,QB)=(QD,QE)=(ADC,ABE)=(MCS,MUB)=(NTD,NEV).
Elles prouvent que M est sur le cercle ABCQ , et N sur le cercle AEDQ.
Les deux pentagones ABCQM et AEDQN sont inscriptibles.
(PV,PS)=(PV,BC)+(BC,PS)=(QP,QC)+(QB,QP) angles inscrits interceptant les arcs PC du cercle vert et BP du cercle rouge.
Donc (PV,PS)=(QB,QC), mais (QB,QC)=(AB,AC) dans le cercle ABQC.
(PV,PS) est donc un quatrième angle égal aux angles en M, A et N.
De (NV,NT)=(PV,PT) on tire que NTPV est inscriptible.
Et de (MU,MS)=(PU,PS) on tire que MUPS est inscriptible.
Pour prouver que MUPS et Q sont cocycliques, je montre que MUPQ sont cocycliques, ou que les cercles MPQ et UPQ sont confondus.
Avec la notation P[M/K] pour désigner la puissance de M par rapport au cercle de centre K qui passe par P et Q, il suffit de montrer que P[M/K] / P[M/L] = P[U/K] / P[U/L], ou encore que MB/MC = UB/UP.
Soit le point P' de la droite BC tel que UP' soit parallèle à MC, on a MB/UB = MC/UP' , mais PUP' est isocèle, donc MB/UB = MC/UP et enfin MB/MC = UB/UP. Les points MUPQ sont cocycliques.
MUPQS est un troisième pentagone inscriptible.
On démontrerait de même que les les cercles NPQ et VPQ sont confondus, NVPQ cocycliques, les cercles NTPV et NVPQ sont confondus et NVPQT est un quatrième pentagone inscriptible.
Le cercle de Miquel est circonscrit au cinquième pentagone IJKLG dont les sommets sont les centres I , J, K, L des cercles circonscrits aux triangles ABC,ADE,BEP et CDP , et le point de Miquel G.
