Q1. — Soit Q le point d'intersection (autre que C) entre les cercles ACB' et BCA'. On peut écrire les égali- tés d'angles (de droites) suivantes :
(QA', QB') = (QC, QB') – (QC, QA')
= (AC, AB') – (BC, BA') [angles inscrits dans ACB' et BCA']
= (AC, BA') – (BC, BA') [parallélisme de BA' et AB']
= (AC, BC) = (C'A', C'B')
[symétrie de centre P]
Donc Q est sur le cercle circonscrit au triangle A'B'C'.
Il en va de même avec le cercle ABC', et Q est donc un point commun aux quatre cercles
Q2. — Par symétrie, il s'ensuit que Q' est sur le cercle circonscrit au triangle ABC et qu'il s'agit du point commun aux cercles A'C'B, C'B'A et B'A'C.
a) Lorsque P est sur la médiatrice de AB : ABA'B' est un rectangle et le centre du cercle A'B'C est aussi sur la médiatrice de AB. Donc les cercles A'B'C et ABC ont tous deux leur centre sur cette médiatrice. L'inter- section de ces deux cercles est toujours le symétrique de C par rapport à cette droite.
b) Lorsque P est sur la médiane CK : le point C' est tou- jours sur CK et BA' est toujours parallèle à CK. Si on désigne par M le point (fixe) de CK tel que (BM, CK) soit égal à l'angle (constant) (BA', A'C'), le cercle A'C'B passe toujours par M : son centre décrit donc la média- trice du segment BM.
Lorsque le triangle ABC n'est pas isocèle en C (et donc que le médiane n'est pas la médiatrice précédente), le point M est distinct de C et la droite des centres des cercles A'C'B et ABC effectue un tour complet autour de Ω lorsque P parcourt la médiane.
Le point d'intersection autre que B entre les deux cercles, symétrique de B par rapport à la droite des centres par- court donc tout le cercle ABC.
