D1857‒ La saga de l'angle de 45° (1er épisode) [**** à la main]
Les hauteurs BB₁ et CC₁ d'un triangle scalène acutangle ABC se coupent en l'orthocentre H. Les droites symétriques de la médiane AM par rapport aux droites BB₁ et CC₁ se coupent en un point X.
Démontrer que le triangle AHX est isocèle de sommet A si et seulement si l'angle en A du triangle ABC est égal à 45°.
Solution proposée par Bernard Vignes
On trace le triangle B'B''C' homothétique au triangle ABC avec les parallélogrammes ABCB',ABB''C et ACBC'.
Soit A' le symétrique de A par rapoort à C₁ et A'' le symétrique de A par rapport à B₁. La droite (A'B') est la symétrique de (AM) par rapport à la hauteur (CC₁.De la même manière (A''C') est symétrique de (AM) par rapport à (CC₁). On désigne par Y le point d'intersection de la droite (AA') avec la droite (C'A'').
Soit α = BAC. On sait que AH = BC.tan(α) = AC'.tan(α). Comme HC' = HB'' = HB', la droite (AH) est la médiatrice de B'C'.On a donc B'HC' = 2AHC' = 2α.
D'autre part B'XC' = B'A'A + A'YA'' = B'A'A + A'AA'' + A'YA'' = A'AB'' + α + A''AB'' Or
A'AB'' +A''AB'' =α. D'où B'XC' = 2α
Il en résulte que les quatre points B',H,X,C' sont sur un même cercle (Γ).
Si α = π/4, alors B'XC = π/2 et B'C' est le diamètre du cercle (Γ). D'où AX = AH = rayon du cercle (Γ) = BC
Si AH = AX, comme le triangle ABC est scalène, H et X ne peuvent pas être confondus. Comme H est sur la médiatrice de BC. Si B'HC' ≠ π/2, alors B'XC' ≠B'HC' . Contradiction avec B'HC' = B'XC' = 2α . L'égalité AH = AX ne peut donc être obtenue qu'avec B'XC = B'HC' = 2α. = π/2. D'où α = π/4.
