Devoir sur les complexes et les logarithmes

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Mathématiques Devoir n°1:

les complexes et les logarithmes népériens. Terminale Scientifique

Partie A: Les nombres complexes Exercice 1: Démonstrations de cours à connaître

1) Démontrer que si ZA est l'affixe de A et ZB l'affixe de B, alors l'affixe du vecteur AB est ZB-ZA. 2) Démontrer que ZZ=2ReZ et Z−Z=2iImZ . Que peut-on en déduire?

3) Démontrer que ZZ∈ℝ , ZZ '= ZZ ' , et que Z Z '= Z

Z ' , où Z '≠0 Exercice 2: Conjugués

Soient Z1= ⁴_3i⁻⁵ⁱ et Z2= 2z²−i 5z1 .

1) Déterminer les conjugués de Z1 et Z2

2) Déterminer le lieu des points M d'affixe z de telle sorte que ^iz_z−i⁻¹ soit réel.

Exercice 3: Avec les polynômes On donne P(Z) = x²+x+1

1) Résoudre P(Z) = 0

2) Démontrer que , pour tout complexe Z, PZ = P Z Exercice 4: Complexes et géométrie

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O; u ,v ), on considère le point M d'affixe z = x+iy (où x et y sont des réels).

1) Déterminer les affixes des points M', M'' et M''' respectivement symétriques de M par rapport à l'axe des abscisses, à l'axe des ordonnées et au point O.

2) Placer ces points sur le repère 1 dans le cas où z = −23 2i . Exercice 5: Géométrie analytique

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O; u ,v ).

1) Placer dans le repère 2 les points A, B, C et D d'affixes respectives 3+i; 2-2i; 2i et 1+5i.

2) Prouver que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 6: Vecteurs

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O; u ,v ). Les points A, B et C ont pour affixes respectives -2+i; 3+3i; et 111

5 i .

1) Placer ces points sur le repère 3.

2) Calculer les affixes des vecteurs AB et AC . 3) En déduire que les points A, B et C sont alignés.

Exercice 7: Forme trigonométrique

Écrire sous la forme trigonométrique les nombres complexes suivants et les représenter dans le cercle trigonométrique.

Z1 = −



^3i

Z2 = −6



^36i

Z3 = -17 Z4 = 5i

T.Pautrel - niveau Terminale Scientifique - Devoir n°1: Les nombres complexes et les logarithmes népériens

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Partie B: Les logarithmes népériens Exercice 1: Démonstrations à connaître.

1) Démontrer que ln (ab) = ln(a) + ln(b).

2) Démontrer que ln(aⁿ)= nln(a), n entier naturel.

3) Calculer

lim lnx x−1 x1

.

4) Démontrer que limlnx x  x∞

= 0

Exercice 2: Équations et inéquations Résoudre dans ℝ :

a. ln(x²-1) = ln(2x); b. lnx−2ln2x1 ; c. 2lnx0 ; d. ln3−xln2−lnx10 Exercice 3: Avec les limites

Déterminer les limites suivantes:

a. lim ln x−1 2x3 x−∞

; b. limlnx

x−e xe

; c. lim xlnx²

x0 ; d. limx−lnx x∞

Exercice 4: Analyse fonctionnelle

Le but du problème est l'étude de la fonction ƒ définie sur ]0; ^∞ [ par:

fx=1

x−lnx C est la courbe représentant f dans un repère orthonormal.

1. a) Étudier les limites de ƒ en 0 et en ∞

b) Étudier le sens de variations de ƒ.

2. a) Démontrer que l'équation ƒ(x) = 0 admet une unique solution x0 dans ]0; ∞ [.

b) Vérifier que 1,7 < x0 < 1,8

3. D est tangent à C au point d'abscisse 1.

a) Déterminer une équation de D. Écrire cette équation de la forme y=x .

b) Étudier le sens de variations de la fonction  définie sur]0; ∞ [ par x=fx−x . c) En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D.

4. Tracer la courbe C et la droite D.

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4

0 1

1

x y

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Mathématiques ANNEXE du devoir n°1 Terminale Scientifique Nom et prénom:

Repère 1:

Repère 2: Repère 3:

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0 1

1

x y

2 3 4

-1 -2

2 3 4 5 6

-1 -2 -3

0 1

1

x y

2 3 4

-1 -2

2 3 4 5 6

0 1

1

x y