Fonctions logarithmes
ATSAGMO Le 24 mai 2013
Table des matières
1 Impact des fonctions logarithmes sur le reste du programme 2 1.1 Impact des fonctions logarithmes sur les suites numériques . . . . 2 1.2 Impact des fonctions logarithmes sur les équations différentielles de 1𝑒𝑟 ordre . . 4 1.3 Impact des fonctions logarithmes sur les dosages en chimie . . . . 5 1.4 Impact des fonctions logarithmes sur les primitives . . . . 6 2 Quelques difficultés des apprenants face à l’enseignement des fonctions loga-
rithmes 6
2.1 Calcul des limites . . . . 6 2.2 Détermination des primitives de certaines fonctions . . . . 8
3 Cours 10
INTRODUCTION
L’enseignement des fonctions au secondaire débute en classe de seconde où on introduit les fonctions élémentaires et polynômes. A partir de la classe de première on passe aux fonctions rationnelles, trigonométriques, irrationnelles ; en terminale s’ajoutent les notions de fonctions logarithmes, exponentielles et puissances. Notre travail sera centré sur les fonctions logarithmes.
Elles s’appliquent sur des chapitres du programme tels que : les suites numériques, les équations différentielle de premier ordre, et les dosages en chimie. Ainsi ces fonctions peuvent avoir de l’impact sur ces parties. Cette nouvelle notion en terminale C cause parfois des difficultés aux apprenants, car elles possèdent certaines propriétés particulières que d’autres fonctions n’ont pas.
Ainsi on peut noter qu’un élève de la terminale C avant de découvrir cette notion, doit avoir un certain nombre de pré-requis sur des fonctions n’utilisant pas 𝑙𝑛. Il s’agit des notions telles que : les limites, la dérivabilité, la continuité, la résolution des équations et inéquations dans R, les primitives, la détermination du signe d’une expression littérale...
Nous avons défini les fonctions logarithmes comme des primitives sur ]0; +∞[ des fonctions 𝑥↦→ 𝑘𝑥 (𝑘 ∈R) qui s’annulent en 1. Notre objectif sera triple :
– Étudier l’impact des fonctions logarithmes sur le reste du programme,
– Donner quelques difficultés des apprenants face à l’enseignement des fonctions loga- rithmes,
– Proposer un cours donnant quelques solutions pouvant diminuer les difficultés des appre- nants.
1 Impact des fonctions logarithmes sur le reste du pro- gramme
1.1 Impact des fonctions logarithmes sur les suites numériques
L’étude des suites définies par une formule de récurrence est souvent difficile puisque la limite d’une telle suite ne peut pas être déterminer directement. Ces suites se définissent par : 𝑢0 =𝑎 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 =𝑓(𝑢𝑛),∀𝑛 ∈𝑁* où 𝑓 est une fonction continue.
A partir de la classe de première l’élève peut tracer la courbe de la fonction 𝑓 et la première bissectrice, l’abscisse du point d’intersection des deux sera donc la limite de la suite si cette suite converge. Il faudra alors représenter les termes de la suite de proche en proche pour pouvoir trouver un entier 𝑛 tel que 𝑢𝑛 soit une valeur approchée de cette limite à 10−3 par exemple.
Mais cette méthode pose souvent beaucoup de difficultés lorsque la vitesse de convergence de la suite est lente (c-à-d 𝑛 est très grand).
Par les fonctions logarithmes, on constate que l’étude des variations peut nous permettre de déterminer le plus petit entier𝑛 tel que𝑢𝑛 soit une valeur approchée de𝛼 (où 𝛼 est un point fixe de 𝑓) sans toute fois représenter quelques termes de (𝑢𝑛).
Exemple de détermination d’une valeur approchée de la limite d’une suite.
Énoncé
Soient 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 deux fonctions définies par :𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥+ 3) 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) =𝑙(𝑥+ 3)−𝑥.
1. Démontrer que l’équation𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans l’intervalle [1; 2].
En déduire que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥 admet une unique solution 𝛼 dans l’intervalle [1; 2].
2. (a) Étudier le sens de variation de 𝑓 dans l’intervalle [1; 2]
(b) Démontrer que ∀𝑥∈[1; 2], 𝑓(𝑥)∈[1; 2]
(c) Démontrer que ∀𝑥∈[1; 2],|𝑓′(𝑥)| ≤ 14
3. soit(𝑢𝑛) la suite définie par : 𝑢0 = 1 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 =𝑓(𝑢𝑛),∀𝑛∈𝑁* (a) Démontrer que ∀𝑛 ∈N,1≤𝑢𝑛 ≤2
(b) Démontrer en utilisant la question c) de 2) que ∀𝑛 ∈N,|𝑢𝑛+1−𝛼| ≤ 14|𝑢0−𝛼|.
En déduire que∀𝑛 ∈N,|𝑢𝑛−𝛼| ≤(14)𝑛|𝑢0−𝛼|.
(c) Démontrer alors que la suite (𝑢𝑛) converge et préciser sa limite.
(d) Déterminer un entier 𝑛𝑜 tel que 𝑢𝑛𝑜 soit une valeur approchée de 𝛼 à10−2 près.
Solution
1. Démontrons que l’équation𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans l’intervalle [1; 2].
∀𝑥 ̸=−3, 𝑔′(𝑥) = −𝑥+2𝑥+3, 𝑔 est continue et strictement décroissante sur R+, de plus on a :𝑔(1) =−0,386 𝑒𝑡 𝑔(2) = 0,390, 𝑑𝑜𝑛𝑐 1< 𝛼 <2;
ainsi elle réalise une bijection de R+ sur [−𝑙𝑛3; +∞[. Donc 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 sur R+. Déduction : 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⇔ 𝑔(𝑥) = 0 et puisque l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution𝛼 dans l’intervalle[1; 2] , on conclut que l’équation𝑓(𝑥) =𝑥 admet une unique solution 𝛼 dans l’intervalle [1; 2].
2. (a) Étudier le sens de variation de 𝑓 dans l’intervalle [1; 2]
∀𝑥∈]−3; +∞[, 𝑓′(𝑥) = 𝑥+31 ,
∀𝑥∈]−3; +∞[, 𝑓′(𝑥)>0, donc𝑓 est strictement croissante sur cet intervalle et par suite 𝑓 est strictement croissante sur [1; 2].
(b) Démontrons que ∀𝑥 ∈ [1; 2], 𝑓(𝑥) ∈ [1; 2] Comme 𝑓 est croissante sur [1; 2], 𝑒𝑡 1 ≤ 𝑥≤2 ,alors 𝑓(1)≤𝑓(𝑥)≤𝑓(2), mais 1≤𝑓(1)≤𝑓(𝑥)≤𝑓(2) ≤2.
On conclut que∀𝑥∈[1; 2], 𝑓(𝑥)∈[1; 2].
(c) Démontrons que ∀𝑥∈[1; 2],|𝑓′(𝑥)| ≤ 14
∀𝑥̸=−3, 𝑓′′(𝑥) =−(𝑥+3)1 2, 𝑓′′(𝑥)≤0,𝑓′ est strictement décroissante sur[1; 2] ainsi 𝑓′(2) ≤𝑓′(𝑥)≤𝑓′(1)⇒ 15 ≤𝑓′(𝑥)≤ 14 .
On a donc∀𝑥∈[1; 2],|𝑓′(𝑥)| ≤ 14
3. soit(𝑢𝑛) la suite définie par : 𝑢0 = 1 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 =𝑓(𝑢𝑛),∀𝑛∈𝑁* (a) Démontrons que ∀𝑛 ∈N, 1≤𝑢𝑛≤2
Procédons par récurrence : pour𝑛 = 0, 𝑢0 = 1, donc l’inégalité est vérifiée au rang 0.
Supposons que l’inégalité est vérifiée au rang 𝑛 et montrons qu’elle reste vraie au rang 𝑛+ 1.
On a :1≤𝑢𝑛 ≤2⇒1≤𝑓(𝑢𝑛)≤2, d’après la question (b) de 2 ; d’où1≤𝑢𝑛+1 ≤2.
Ainsi, la relation est vraie au rang 𝑛+ 1. On conclut alors que ∀𝑛∈N, 1≤𝑢𝑛≤2.
(b) Démontrons en utilisant la question c) de 2 que ∀𝑛 ∈N,|𝑢𝑛+1−𝛼| ≤ 14|𝑢𝑛−𝛼|.
En appliquant l’inégalité des accroissement finis sur l’inégalité de la question c) de 2, on obtient
∀𝑛∈N,|𝑓(𝑢𝑛)−𝑓(𝛼)| ≤ 14|𝑢𝑛−𝛼| ⇒ |𝑢𝑛+1−𝛼| ≤ 14|𝑢𝑛−𝛼|.
Déduction, on a donc les inégalités suivantes :
|𝑢𝑛−𝛼| ≤ 14|𝑢𝑛−1−𝛼|
|𝑢𝑛−1−𝛼| ≤ 14|𝑢𝑛−2−𝛼|
|𝑢𝑛−2−𝛼| ≤ 14|𝑢𝑛−3−𝛼|
. .
. .
. .
. .
|𝑢1−𝛼| ≤ 14|𝑢0−𝛼|
En multipliant les de même côté de ces inégalités, on a :
|𝑢𝑛−𝛼| × |𝑢𝑛−1−𝛼| × |𝑢𝑛−2−𝛼| ×...× |𝑢1−𝛼| ≤(14)𝑛|𝑢𝑛−1−𝛼| × |𝑢𝑛−2−𝛼| × ...× |𝑢1−𝛼| × |𝑢0−𝛼|.
En divisant chaque membre de cette dernière inégalité par|𝑢𝑛−1−𝛼| × |𝑢𝑛−2−𝛼| × ...× |𝑢1−𝛼|, on obtient le résultat.
Cette question pouvait aussi se fait par la méthode de récurrence.
(c) Démontrons alors que la suite (𝑢𝑛) converge et calculer sa limite.
On a déjà∀𝑛 ∈N,|𝑢𝑛−𝛼| ≤(14)𝑛|𝑢0−𝛼|, et lim
𝑥→+∞(14)𝑛|𝑢0−𝛼|= 0; donc lim
𝑥→+∞|𝑢𝑛− 𝛼|= 0.
On conclut que la suite(𝑢𝑛) est convergente et que sa limite est 𝛼.
(d) Déterminer le plus petit entier 𝑛 tel que 𝑢𝑛 soit une valeur approchée de 𝛼 à10−2 près.
Pour que |𝑢𝑛−𝛼| ≤10−2, il suffit que (1
4)𝑛 ≤ 10−2 𝑙𝑛(1
4)𝑛 ≤ 𝑙𝑛(10)−2 𝑛𝑙𝑛(1
4) ≤ −2𝑙𝑛10
−𝑛𝑙𝑛4 ≤ −2𝑙𝑛10 𝑛 ≥ 2𝑙𝑛10
𝑙𝑛4 𝑛 ≥ 3,32
On a donc𝑛 ≥4
Dans l’étude des suites géométriques, la question suivante est souvent posée : à partir de quel rang les termes de la suite (𝑢𝑛) seront dans un intervalle donné. Si une telle question est posée à un élève de la classe de première ou même à un élève de la classe de Terminale qui n’a pas encore découvert les fonctions logarithmes , il va chercher à calculer quelques termes de la suite pour pouvoir arriver au rang demandé. Ceci ne sera pas facile pour un rang assez grand. Avec les fonctions logarithmes, l’élève qui parvient déjà à donner la formule explicite d’une suite géométrique de raison donnée et de premier terme donné, peut facilement trouvé ce rang.
Exemple : une somme est 𝑆0 = 10000𝐹 𝐶𝐹 𝐴 est placée à un taux annuel de 4, à intérêts composés. Cela signifie que chaque année, les intérêts versés sont ajoutés au capital et rap- portent à leur tour des intérêts.
1. A partir de quelle année le capital aura-t-il triplé ?
2. Combien d’années doit durer ce placement pour que le capital disponible soit supérieur à 15000𝐹 𝐶𝐹 𝐴?
Solution La suite (𝑆𝑛) des capitaux disponibles au bout de 𝑛 années de placement est une suite géométrique de raison 𝑞 = 1,04 et premier terme 𝑆0 = 10000𝐹 𝐶𝐹 𝐴, donc 𝑆𝑛 = 10000×(1,04)𝑛.
1.
𝑆𝑛= 3×𝑆0 ⇔ 10000×(1,04)𝑛= 30000
⇔ (1,04)𝑛 = 3
⇔ 𝑙𝑛(1,04)𝑛 =𝑙𝑛3
⇔ 𝑛 = 𝑙𝑛3 𝑙𝑛(1,04)
⇔ 𝑛 = 28,01 Le capital aura triplé à partir de la 29𝑖𝑚𝑒 année.
2.
𝑆𝑛 >15000 ⇔ 10000×(1,04)𝑛>15000
⇔ (1,04)𝑛>1,5
⇔ 𝑙𝑛(1,04)𝑛> 𝑙𝑛(1,5)
⇔ 𝑛 > 𝑙𝑛(1,5) 𝑙𝑛(1,04)
⇔ 𝑛 >10
Le capital disponible sera supérieur à 15000𝐹 𝐶𝐹 𝐴 à partir de la 11𝑖𝑚𝑒 année.
1.2 Impact des fonctions logarithmes sur les équations différentielles de 1𝑒𝑟 ordre
Dans les programmes camerounais, la résolution des équations différentielles de premier ordre se fait par l’utilisation des fonctions logarithmes.On peut aussi résoudre ces équations en passant par les fonctions exponentielles.
Cette approche consiste à définir la fonction exponentielle comme l’unique solution de l’équa- tion (𝐸) :𝑦′ =𝑦 avec𝑦(0) = 1.
Pour déterminer la solution de l’équation (𝐸), on approche 𝑦 par une fonction 𝑓, affine par intervalle en utilisant la méthode d’EULER.
Cette méthode consiste à suivre la démarche suivante : 1. Approximation de 𝑦(ℎ), ℎ est un réel proche de 0
Comme 𝑦 est dérivable, elle admet un développement limité d’ordre 1 en 0. On trouve 𝑦(ℎ)≈1 +ℎet on pose 𝑓(ℎ) = 1 +ℎ, 𝑓(0) = 1.
2. Approximation de 𝑦(2ℎ)
𝑦 admet un développement limité d’ordre1 enℎ. On trouve 𝑦(2ℎ)≈(1 +ℎ)2et on pose 𝑓(2ℎ) = (1 +ℎ)2, 𝑓(0) = 1.
On continu le processus et par conjecture, on trouve𝑓(𝑝ℎ) = (1 +ℎ)𝑝, 𝑝∈N* 𝑒𝑡 𝑦(𝑝ℎ)≈𝑓(𝑝ℎ).
On trace les segments d’extrémités 𝑀𝑝−1((𝑝−1)ℎ; (1 +ℎ)𝑝−1) 𝑒𝑡 𝑀𝑝(𝑝ℎ; (1 +ℎ)𝑝), 𝑝∈N*. En approchant 𝑦(1), on obtient :
– Pour ℎ= 501 , 𝑦(1)≈𝑓(50× 501) = (1 + 501)50= 2,692, – Pour ℎ= 1001 , 𝑦(1)≈𝑓(100× 1001 ) = (1 +1001 )100 = 2,705, – Pour ℎ= 5001 , 𝑦(1)≈𝑓(500× 5001 ) = (1 +5001 )500 = 2,716,
On vérifie que l’unique solution de l’équation (𝐸) :𝑦′ =𝑦 avec𝑦(0) = 1, vérifie : 𝑦(−𝑎) = 𝑦(𝑎)1 ;𝑦(𝑎+𝑏) =𝑦(𝑎)×𝑦(𝑏) 𝑒𝑡 lim
𝑛→+∞(1 + 𝑛𝑎)𝑛 =𝑦(𝑎).
Ainsi lim
𝑛→+∞(1 + 1𝑛)𝑛=𝑦(1).
Cette unique solution de (𝐸) est la fonction exponentielle.
Pour montrer que l’unique solution de l’équation (𝐸′) : 𝑦′ = 𝑘𝑦 vérifiant 𝑦(0) = 𝑎 𝑒𝑡 𝑘 ̸=
0, 𝑎̸= 0 est la fonction𝑥↦→𝑎𝑒𝑘𝑥; nous proposons l’activité suivante.
Activité
Soit𝑦 une solution de l’équation(𝐸′), on définie les fonctions𝑓 𝑒𝑡 𝑔 par :𝑓(𝑥) = 𝑦(𝑥𝑘) 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) =
1 𝑎𝑓(𝑥).
1. Vérifier que 𝑓 est dérivable et calculer sa dérivée. Que vaut 𝑓(0)? 2. Vérifier que 𝑔 est dérivable et calculer sa dérivée. Que vaut 𝑔(0)?
3. Vérifier que 𝑔 est solution de l’équation (𝐸). Que représente alors la fonction𝑔? 4. Monter que𝑦(𝑥) = 𝑎𝑒𝑘𝑥
Réciproquement, soit𝑦 la fonction définie par𝑦(𝑥) =𝑎𝑒𝑘𝑥, montrer que𝑦′ =𝑘𝑦 𝑒𝑡 𝑦(0) =𝑎.
Par cette activité on peut donc conclure que l’unique solution de l’équation (𝐸′) vérifiant 𝑦(0) =𝑎 𝑒𝑡 𝑘 ̸= 0, 𝑎̸= 0 est la fonction𝑥↦→𝑎𝑒𝑘𝑥 car 𝑔 est unique.
Inconvénient de la méthode d’Euler.
Cette méthode utilise le développement limité qui n’est pas au programme du secondaire.
Pour résoudre les équations de type (𝐸′) on doit tout d’abord préciser que la fonction nulle est solution de cette équation, ceci nous permettra d’écrire 𝑦𝑦′ pour toute fonction 𝑦 non nulle.
La résolution de ces équations ne pose pas de problème quand on connait déjà la fonction logarithme comme réciproque de la fonction exponentielle.
1.3 Impact des fonctions logarithmes sur les dosages en chimie
L’acidité d’une solution se mesure par sa concentration en ions𝐻3𝑂+, c’est-à-dire le nombre de moles de 𝐻3𝑂+, par litre de solution.
On appelle 𝑝𝐻 d’une solution, le cologarithme décimal de sa concentration en ions 𝐻3𝑂+ : 𝑝𝐻 =−𝑙𝑜𝑔[𝐻3𝑂+].
On préfère le logarithme décimal au logarithme népérien car les puissances de 10 inter- venant dans les concentrations ont ainsi un logarithme décimal entier. En plus des fonctions logarithmes, on peut détermination le 𝑝𝐻 d’une solution en utilisant :
1. Le 𝑝𝐻-mètre
C’est un appareil utilisé pour des mesures précises du𝑝𝐻. Avec cet appareil, la valeur du 𝑝𝐻 est obtenue par lecture mais son problème est qu’il n’est pas disponible dans tous les établissements.
2. L’utilisation des indicateurs colorés
Ce sont des substances organiques dont la couleur varie avec le 𝑝𝐻 du milieu, mais son
problème est qu’ils permettent une détermination rapide et approchée du𝑝𝐻. L’indicateur coloré est caractérisé pour un intervalle de 𝑝𝐻 appelé zone de virage où se produit le changement de coloration.
3. Le papier 𝑝𝐻 (ou papier indicateur de 𝑝𝐻)
C’est un papier imprégné d’un mélange de plusieurs indicateurs colorés, puis séché. Il se présente en général sous forme de rouleaux ou de languettes.
Il permet une détermination rapide de𝑝𝐻, mais cette méthode est peu précise : le𝑝𝐻 est obtenu 0,5 𝑜𝑢 1 unité près. Un autre problème de ce papier est qu’il n’est pas disponible dans tous les établissements.
Au vu les inconvénients des autres méthodes de détermination du 𝑝𝐻 d’une solution, nous constatons qu’on ne peut se passer du logarithme décimal quand on veut déterminer le 𝑝𝐻 d’une solution en classe de terminale C.
1.4 Impact des fonctions logarithmes sur les primitives
La dérivabilité de la fonction 𝑥↦→ 𝑙𝑛𝑓(𝑥) sur son ensemble facilite souvent la tâche quand on veut déterminer les primitives des fonctions 𝑥↦→𝑥𝑝𝑙𝑛𝑓(𝑥)(où 𝑓 est une fonction polynôme ou rationnelle) par le calcul intégral.
Le problème est le suivant, on demande à un apprenant de calculer l’intégrale∫︀𝑏
𝑎 𝑥𝑝𝑙𝑛𝑓(𝑥)𝑑𝑥 en utilisant une intégration par parties. Face à cette situation, pour faciliter le travail aux appre- nants, on peut leur proposer la méthode suivante : poser 𝑢′(𝑥) = 𝑥𝑝 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 𝑙𝑛𝑓(𝑥), ainsi il aura 𝑣′(𝑥)𝑢(𝑥) = 𝑥(𝑝+1)𝑓𝑝+1×𝑓′(𝑥)(𝑥) et∫︀𝑏
𝑎 𝑥𝑝𝑙𝑛𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑣(𝑥)𝑢(𝑥)]𝑏𝑎−∫︀𝑏 𝑎
𝑥𝑝+1𝑓′(𝑥)
(𝑝+1)𝑓(𝑥)𝑑𝑥. La détermination des primitives de la fonction 𝑢′𝑣 nous conduit ainsi à trouver celles d’une fonction rationnelle dont les méthodes de détermination sont proposées au paragraphe 2.2.
Ici on tire l’attention des apprenants de ne pas souvent prendre 𝑙𝑛𝑓 comme dérivée car si tel est le cas la détermination de ses primitives ne sera pas facile.
Exemple on donne 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑙𝑛(𝑥2+ 2𝑥+ 3)
A l’aide d’une intégration par parties, déterminer les primitives de la fonction 𝑓 𝑠𝑢𝑟 R. Posons𝑢′(𝑥) = 𝑥2 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) =𝑙𝑛(𝑥2+2𝑥+3), alors on peut prendre𝑢(𝑥) = 𝑥33 𝑒𝑡 𝑣′(𝑥) = 𝑥22𝑥+2+2𝑥+3
donc les primitives de 𝑓 seront définies par 𝐹(𝑥) = 𝑥33𝑙𝑛(𝑥2+ 2𝑥+ 3)− 23∫︀ 𝑥4+𝑥3
𝑥2+2𝑥+3𝑑𝑥.
Le paragraphe 2.2 permet de trouver𝐹(𝑥).
2 Quelques difficultés des apprenants face à l’enseignement des fonctions logarithmes
2.1 Calcul des limites
Face aux calculs des limites de certaines fonctions, les élèves ont souvent beaucoup de pro- blèmes de transformation de l’expression de la fonction afin d’utiliser les limites de références.
Cela est dû au fait que pour la majorité des cas, le calcul direct des limites conduit à une indétermination.
Pour certains calculs de limites on peut, soit faire appel aux changements de variables,soit factoriser l’expression d’une fonction donnée pour pouvoir utiliser les limites élémentaires déjà connues. Dans d’autres cas on pourra utiliser la propriété de la limite de la composée de fonc- tions qui est donné par le rappel suivant.
Rappel : Si lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑒𝑡 lim
𝑥→𝑏𝑔(𝑥) = 𝑙 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 lim
𝑥→𝑎𝑔 ∘𝑓(𝑥) = 𝑙; 𝑎 , 𝑏 𝑒𝑡 𝑙 sont des nombres
réels ou −∞ 𝑜𝑢 +∞
Déterminer les limites des fonctions suivantes.
1. 𝑓(𝑥) = −𝑥−3𝑙𝑛(−𝑥) 𝑒𝑛 0+ 𝑒𝑡 − ∞ 2. 𝑔(𝑥) =𝑙𝑛(𝑥−5𝑥+2) 𝑒𝑛 5+ 𝑒𝑡 +∞
3. ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥2−3𝑥+1)𝑥 𝑒𝑛 0 4. 𝑖(𝑥) = 𝑥−𝑙𝑛𝑥2𝑥+3 𝑒𝑛 +∞ 5. 𝑘(𝑥) = 𝑙𝑛(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑒𝑛 0 6. 𝑙(𝑥) = 𝑥−3 + 𝑙𝑛(𝑥−1)𝑥−2 𝑒𝑛2
Solution
1. 𝑓(𝑥) = −𝑥−3𝑙𝑛(−𝑥) 𝑒𝑛 0+ 𝑒𝑡 − ∞ Posons−𝑥=𝑋,
– quand 𝑥→0−, 𝑋 →0+; donc lim
𝑥→0−𝑓(𝑥) = lim
𝑋→0+(𝑋−3𝑙𝑛𝑋), or lim
𝑋→0+(𝑋) = 0 𝑒𝑡 lim
𝑋→0+(𝑙𝑛𝑋) = −∞ donc lim
𝑋→0+(−3𝑙𝑛𝑋) = +∞
ainsi lim
𝑋→0+(𝑋−3𝑙𝑛𝑋) = +∞ 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim
𝑥→0−= +∞.
– quand 𝑥→ −∞, 𝑋 →+∞; donc lim
𝑥→−∞𝑓(𝑥) = lim
𝑋→+∞(𝑋−3𝑙𝑛𝑋), or lim
𝑋→+∞(𝑋) = +∞ 𝑒𝑡 lim
𝑋→+∞(𝑙𝑛𝑋) = +∞ donc lim
𝑋→0+(−3𝑙𝑛𝑋) = −∞. On obtient ainsi une forme indéterminée, cherchons à lever l’indétermination.
𝑋−3𝑙𝑛𝑋 =𝑋− 3𝑋𝑙𝑛𝑋𝑋 =𝑋(1− 3𝑙𝑛𝑋𝑋 ) , lim
𝑋→+∞(1− 3𝑙𝑛𝑋𝑋 ) = 1 𝑒𝑡 lim
𝑋→+∞(𝑋) = +∞; ainsi lim
𝑋→+∞(𝑋−3𝑙𝑛𝑋) = +∞, 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim
𝑥→−∞𝑓(𝑥) = +∞
2. 𝑔(𝑥) =𝑙𝑛(𝑥−5𝑥+2) 𝑒𝑛 5+ 𝑒𝑡 +∞ Posons𝑢(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 𝑥−5𝑥+2, 𝑔(𝑥) = 𝑢∘𝑣(𝑥) – lim
𝑥→5+𝑣(𝑥) = 0+ 𝑒𝑡 lim
𝑥→0+𝑢(𝑥) = −∞, 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim
𝑥→5+𝑢∘𝑣(𝑥) = −∞; on conclut que lim
𝑥→5+𝑔(𝑥) = −∞.
– lim
𝑥→+∞𝑣(𝑥) = 1 𝑒𝑡 lim
𝑥→1𝑢(𝑥) = 0 , 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim
𝑥→+∞𝑢∘𝑣(𝑥) = 0; on conclut que lim
𝑥→+∞𝑔(𝑥) = 0.
3. ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥2−3𝑥+1)𝑥 𝑒𝑛 0 Comme lim
𝑥→0(𝑥2−3𝑥) = 0, nous pouvons donc écrire
𝑙𝑛(𝑥2−3𝑥+1)
𝑥 = 𝑙𝑛((𝑥𝑥22−3𝑥)+1)−3𝑥 ×𝑥2−3𝑥𝑥 = 𝑙𝑛((𝑥𝑥22−3𝑥)+1)−3𝑥 ×(𝑥−3), posons alors 𝑋 =𝑥2−3𝑥 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑥→0, 𝑋 →0
𝑎𝑖𝑛𝑠𝑖 lim
𝑥→0
𝑙𝑛((𝑥2−3𝑥)+1)
𝑥2−3𝑥 = lim
𝑋→0
𝑙𝑛(1+𝑋)
𝑋 = 1 de plus
𝑥→0lim(𝑥−3) =−3 donc lim
𝑥→0ℎ(𝑥) =−3 4. 𝑖(𝑥) = 𝑥−𝑙𝑛𝑥2𝑥+3 𝑒𝑛 +∞
𝑥→+∞lim (2𝑥+ 3) = +∞ 𝑒𝑡 lim
𝑥→+∞(𝑥−𝑙𝑛𝑥) = lim
𝑥→+∞𝑥(1−𝑙𝑛𝑥𝑥 ) = +∞,
On obtient ainsi une forme indéterminée, cherchons à lever l’indétermination.
En divisant le numérateur et le dénominateur par 𝑥 on obtient𝑖(𝑥) = 2+
3 𝑥
1−𝑙𝑛𝑥
𝑥
; lim
𝑥→+∞(2 + 3𝑥) = 2 𝑒𝑡 lim
𝑥→+∞(1− 𝑙𝑛𝑥𝑥 ) = 1 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim
𝑥→+∞𝑖(𝑥) = 2.
5. 𝑘(𝑥) = 𝑙𝑛(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑒𝑛 0
On sait que 𝑠𝑖𝑛2𝑥= 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 donc 𝑘(𝑥) = 𝑙𝑛(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥1 × 𝑙𝑛(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥→0lim
1
2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 12 𝑒𝑡 lim
𝑥→0
𝑙𝑛(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑓 𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒.
Posons𝑋 =𝑠𝑖𝑛𝑥 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑥→0, 𝑋 →0; lim
𝑥→0
𝑙𝑛(1−𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝑠𝑖𝑛𝑥 = lim
𝑋→0
𝑙𝑛(1+𝑋)
𝑋 = 1
Ainsi, lim
𝑥→0𝑘(𝑥) = 12.
6. 𝑙(𝑥) = 𝑥−3 + 𝑙𝑛(𝑥−1)𝑥−2 𝑒𝑛2 lim
𝑥→2 𝑙𝑛(𝑥−1)
𝑥−2 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑓 𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 . On a, 𝑙𝑛(𝑥−1)𝑥−2 = 𝑙𝑛((𝑥−2)+1)
𝑥−2 ;
posons 𝑥−2 =𝑋 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑥→2, 𝑋 →0; lim
𝑥→2 𝑙𝑛(𝑥−1)
𝑥−2 = lim
𝑋→0
𝑙𝑛(𝑋+1)
𝑋 = 1
𝑒𝑡 lim
𝑥→2(𝑥−3) = −1; donc lim
𝑥→2𝑙(𝑥) = 0.
2.2 Détermination des primitives de certaines fonctions
Dans tout ce paragraphe, 𝐷𝑓 désigne l’ensemble de définition de la fonction𝑓. La détermination des primitives des fonctions rationnelles cause souvent des problèmes lors- qu’on veut utiliser le fait que une primitive de 𝑢𝑢′ est𝑙𝑛|𝑢|+𝑐 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐∈R. Ces problèmes sont dus du fait que dans certains cas le numérateur n’est pas directement la dérivée du dénomina- teur. Pour contourner ces difficultés, nous proposons quelques méthodes de détermination en fonction de la forme de la fonction.
NB : pour toute fonction de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥+𝑑𝑏 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐̸= 0 𝑒𝑡 𝑥̸= −𝑑𝑐 . On peut remarquer que 𝑐𝑥+𝑑𝑏 = 𝑏𝑐× 𝑐𝑥+𝑑𝑐 ; ainsi 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑐× 𝑐
𝑐𝑥+𝑑.
Or la dérivée de la fonction𝑥 ↦→ 𝑐𝑥+𝑑 est la fonction 𝑥 ↦→ 𝑐 donc une primitive de 𝑓 est 𝐹 définie par𝐹(𝑥) = 𝑏𝑐𝑙𝑛|𝑐𝑥+𝑑|+𝑘, 𝑘∈R.
Exemple : 𝑓(𝑥) = −5 3𝑥+ 8.
On a : 𝑓(𝑥) = −53 × 3𝑥+83 ; Or la dérivée de la fonction 𝑥↦→ 3𝑥+ 8 est la fonction𝑥↦→3 donc les primitives de 𝑓 seront définies par : 𝐹(𝑥) = −53 𝑙𝑛(3𝑥+ 8) +𝑘, 𝑘∈R sur ]−83; +∞.
1. Fonction de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2𝑑𝑥+𝑒+𝑏𝑥+𝑐 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑̸= 0 𝑒𝑡 𝑥 ̸= −𝑒𝑑 .
Pour ce genre de fonctions, on cherche trois réels 𝛼 , 𝛽 𝑒𝑡 𝛾 tels que tels que ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑓(𝑥) =𝛼𝑥+𝛽+ 𝑑𝑥+𝑒𝛾 ; ainsi, une primitive de 𝑓 sera𝐹 définie par :
𝐹(𝑥) = 𝛼2𝑥2+𝛽𝑥+ 𝛾𝑑𝑙𝑛|𝑑𝑥+𝑒|+𝑐, 𝑐∈R Exemple 1 :𝑓(𝑥) = 3𝑥−2𝑥+1
Posons𝑓(𝑥) =𝛼+ 𝛽
𝑥+ 1, trouvons 𝛼 𝑒𝑡 𝛽
Par division euclidienne on trouve𝑓(𝑥) = 3− 𝑥+15 . Par identification on a :𝛼 = 0 , 𝛽 = 3 𝑒𝑡 𝛾 =−5.
𝑓(𝑥) = 3−𝑥+15 ; les primitives de𝑓 seront définies par :𝐹(𝑥) = 3𝑥−5𝑙𝑛(−𝑥−1)+𝑘, 𝑘∈R sur]− ∞;−1[.
Exemple 2 :𝑓(𝑥) = 2𝑥2𝑥+12−𝑥+2 Posons𝑓(𝑥) =𝛼𝑥+𝛽+2𝑥+1𝛾 .
En faisant la division euclidienne de2𝑥2−𝑥+2 𝑝𝑎𝑟 2𝑥+1 , on obtient :𝑓(𝑥) = 𝑥−1+2𝑥+13 , par identification on a : 𝛼 = 1 , 𝛽 = −1 𝑒𝑡 𝛾 = 3 ceci implique que les primitives de 𝑓 seront définies par : 𝐹(𝑥) = 12𝑥2−𝑥+32𝑙𝑛(2𝑥+ 1) +𝑘, 𝑘∈R sur ]− 12; +∞[.
2. Fonction de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥2𝑎𝑥+𝑏+𝑑𝑥+𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐̸= 0
Ici on distinguera plusieurs cas :
(a) Premier cas : le numérateur est la dérivée du dénominateur.
Dans ce cas, la fonction est de la forme
𝑢′
𝑢 et alors une primitive de cette fonction est 𝑙𝑛|𝑢|+𝑐, 𝑐∈R.
Exemple:𝑓(𝑥) = 𝑥22𝑥+3+3𝑥−2, on a : la dérivée de la fonction𝑥↦→𝑥2+3𝑥−2 est la fonc- tion𝑥↦→2𝑥+3, les primitives de𝑓 seront définies par :𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥2+3𝑥−2|+𝑘, 𝑘∈ R.
(b) Deuxième cas : le numérateur n’est pas la dérivée du dénominateur et ce dernier peut se mettre sous la forme d’un produit de deux facteurs différents.
On suppose que 𝑐𝑥2+𝑑𝑥+𝑒=𝑐(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1), alors 𝑓(𝑥) = 𝑐(𝑥−𝑥𝑎𝑥+𝑏
0)(𝑥−𝑥1). Dans ce cas, on cherche deux réels𝛼 𝑒𝑡 𝛽 tels que tels que
∀𝑥∈𝐷𝑓, 𝑓(𝑥) = 𝑥−𝑥𝛼
0 +𝑥−𝑥𝛽
1, une primitive de 𝑓 sera donc 𝐹 définie par : 𝐹(𝑥) = 𝛼𝑙𝑛|𝑥−𝑥0|+𝛽𝑙𝑛|𝑥−𝑥1|+𝑘, 𝑘∈R.
Exemple: 𝑓(𝑥) = 𝑥2+2𝑥−3𝑥+7 .
𝑓(𝑥) = (𝑥−1)(𝑥+3)𝑥+7 , cherchons 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 tels que tels que ∀𝑥∈𝐷𝑓, 𝑓(𝑥) = 𝑥−1𝛼 + 𝑥+3𝛽 ,
𝑓(𝑥) = 𝛼
𝑥−1 + 𝛽 𝑥+ 3
= (𝛼+𝛽)𝑥+ 3𝛼−𝛽 (𝑥−1)(𝑥+ 3) 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥+ 7
(𝑥−1)(𝑥+ 3) = (𝛼+𝛽)𝑥+ 3𝛼−𝛽 (𝑥−1)(𝑥+ 3)
Par identification, on obtient le système d’équations suivant :
{︂ 𝛼+𝛽 = 1
3𝛼−𝛽 = 7 La résolution de ce système nous donne : 3𝛼 = 2 𝑒𝑡 𝛽 =−1.
Ainsi,𝑓(𝑥) = 𝑥−12 − 𝑥+31 les primitives de 𝑓 seront définies par : 𝐹(𝑥) = 2𝑙𝑛|𝑥−1| −𝑙𝑛|𝑥+ 3|+𝑘, 𝑘∈R.
(c) troisième cas : le numérateur n’est pas la dérivée du dénominateur et ce dernier peut se mettre sous la forme d’un produit de deux facteurs identiques.
On suppose que 𝑐𝑥2+𝑑𝑥+𝑒=𝑐(𝑥−𝑥0)2, alors𝑓(𝑥) = 𝑐(𝑥−𝑥𝑎𝑥+𝑏
0)2. Dans ce cas, on cherche deux réels𝛼 𝑒𝑡 𝛽 tels que tels que ∀𝑥∈𝐷𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑐(𝑥−𝑥𝛼
0)2 +𝑐(𝑥−𝑥𝛽
0), les primitives de𝑓 seront définies par : 𝐹(𝑥) = −𝑐(𝑥−𝑥𝛼
0) +𝛽𝑐𝑙𝑛|𝑥−𝑥1|+𝑘, 𝑘∈R. Exemple: 𝑓(𝑥) = 𝑥2+2𝑥+1𝑥−3 .
𝑓(𝑥) = (𝑥+1)𝑥−32 ; cherchons deux réels 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 tels que tels que ∀𝑥∈𝐷𝑓, 𝑓(𝑥) = (𝑥+1)𝛼 2 + 𝑥+1𝛽 ,
𝑓(𝑥) = 𝛼
(𝑥+ 1)2 + 𝛽 𝑥+ 1
= 𝛽𝑥+𝛼+𝛽 (𝑥+ 1)2 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥−3
(𝑥+ 1)2 = 𝛽𝑥+𝛼+𝛽 (𝑥+ 1)2
Par identification, on obtient le système d’équations suivant :
{︂ 𝛽= 1
𝛼+𝛽=−3 La résolution de ce système nous donne : 3𝛼 =−4 𝑒𝑡 𝛽 = 1.
Ainsi,𝑓(𝑥) = (𝑥+1)−4 2 + 1
𝑥+ 1 les primitives de 𝑓 seront définies par : 𝐹(𝑥) = 𝑥+14 +𝑙𝑛(𝑥+ 1) +𝑘, 𝑘∈R sur]−1; +∞[.
(d) Quatrième cas : le numérateur n’est pas la dérivée du dénominateur et ce dernier n’est pas factorisable dansR.
Ceci n’est plus le programme du secondaire, ce cas sera étudier au supérieur.
3. Fonction de la forme𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑐𝑥22+𝑑𝑥+𝑒+𝑏𝑥+𝑐 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐̸= 0 𝑒𝑡 𝑎̸= 0 et que le dénominateur peut se mettre sous la forme d’un produit de deux facteurs.
On chercher trois réels 𝛼 , 𝛽 𝑒𝑡 𝛾 tels que tels que ∀𝑥∈𝐷𝑓, 𝑓(𝑥) =𝛼+ 𝑐𝑥𝛽𝑥+𝛾2+𝑑𝑥+𝑒. Suivant que le dénominateur ait deux facteurs distincts ou deux facteurs identiques, on retrouve les cas précédents.
Remarque
Lorsque le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur, une division euclidienne permet de ramener le problème aux cas précédents.
