FONCTIONS LOGARITHMES : COURS

FONCTIONS LOGARITHMES : COURS

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OBJECTIF : Connaître les propriétés et les représentations graphiques des fonctions log x et ln x.

ACTIVITE 1 : Découverte de la fonction logarithme décimal.

1) Trouver la touche log de votre calculatrice et calculer log 3 ≈ (valeur approchée au millième) 2) Compléter le tableau suivant (arrondir au millième) :

x -21,5 -4 -1 0 0,5 1 2,6 10 10⁵

log x

Pour quelles valeurs de x le nombre log x semble ne pas être défini ?

3) Compléter le tableau suivant, colonne par colonne (mettre tous les chiffres pour log x) :

x (nombre décimal) x (puissance

de dix) 10^-3 10-2,698970004

10^-2 10^-1 10-0,301029995

1 10 101,698970004

10⁶ 10⁹

log x

Que remarque-t-on ?

I) FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

1) Définition.

Remarques : log 1 = log 10 = 2) Représentation graphique.

3) Propriétés.

Exemples

log ab = log (10⁴x 10⁵) =

log a

b = log (10⁸

10³) =

log aⁿ = log (10³) =

log (1000⁷) =

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4) Exemples.

a) Calculer log x (à 10^-3 près) pour les valeurs suivantes de x : 0,3 ; 0,82 ; 1,3 ; 12 ; 640

b) Exprimer en fonction de log x et log y : log x⁴ = log y^-2 = log x³ y² =

c) Exprimer en fonction de log 5 et / ou log 3 les nombres suivants : log 25 ; log 9 ; log 45 ; log 125 ; log 9 5 5) Application : résolution d'un problème.

Vous placez 10 000 € à 5% par an. Dans combien de temps aurez-vous 17 958,56 € ?

ACTIVITE 2 : Relation entre log et ln.

1) Compléter le tableau suivant, ligne par ligne, en utilisant la calculatrice (arrondir au millième).

x 0,25 0,5 1 2 3 4 5 6 10 15 20

ln x log x

ln x log x

2) Représenter la fonction y = ln x dans le repère du I)2). Que constatez-vous ?

Donner graphiquement puis en utilisant la calculatrice la valeur de x pour laquelle ln x = 1.

3) A l’aide du tableau, donner la valeur approchée au millième puis exacte du rapport ln x log x Déduire l’expression de ln x en fonction de log x.

II) FONCTION LOGARITHME NEPERIEN.

1) Relation entre log et ln : 2) Définition :

3) Représentation graphique.

La valeur de x telle que ln x = 1 est notée e et vaut : e ≈ 4) Propriétés : ln ab = ln a

b = ln aⁿ = ln a =

5) Exemples.

a) Calculer ln 5

3 ; ln 10 ; ln 0,6 (arrondir à 10^-4).

b) Soit f(x) = ln (0,5x⁷). Exprimer f(x) en fonction de ln x. Calculer f(1,5).

6) Application : Résoudre le problème du I)5) avec ln et pas log.

FONCTIONS LOGARITHMES : EXERCICES

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1. Calculer log x pour les valeurs suivantes de x : 0,36 ; 15

37 ; 1,3 ; 19

7 ; 1 238 ; 4

5

2. Exprimer en fonction de log 2 et / ou log 3 les nombres suivants :

log 4 ; log 6 ; log 12 ; log 200 ; log 30 000; log 1 800

3. Exprimer en fonction de log a et / ou log b : log a

; log a

; log a

b

; log a

b

; log ab

4. Calculer ln x pour les valeurs suivantes de x : 0,03 ; 1

7 ; 2,81 ; 305 ; 3

5

- 4

5. Simplifier les expressions suivantes : ln a

b + ln b ; ln a

– ln a ; ln a

b + ln ab ; ln a - 2ln a

b

6. Calculer ln (e

) ; ln ( 1

e

) ; ln ( e)

7. Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants : a = ln4 – 3ln 1

8 b = ln8e – 2ln4 – ln 1

2 c = ln 2

e

+ ln 16e

8. Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 les nombres suivants : ln 18 ; ln ( 16

81 ) ; ln ( 1

27 ) ; ln 24

9. Si on place un capital C à intérêts composés, au taux de t % par an, la valeur acquise par ce capital à la fin de la n

année est : C

= C(1 + t)

Une personne effectue un placement de 40 000 € à intérêts composés, au taux de 7 % par an (t = 0,07).

Au bout de combien d’années son capital sera-il de 52 431,84 € ? 10. Coût de fabrication.

Une entreprise fabrique des objets en matière plastique. Le coût de production en € de x objets est donné par la fonction :

C(x) = 10 ln (3x + 1), x

[0 ; 50]

Cette fonction est continue et croissante.

1) Compléter le tableau (arrondir au centime) :

x

2 5 10 20 30 40 50

C(x)

2) Représenter la fonction C(x) en utilisant les valeurs du tableau ci-dessus pour x

[0 ; 50].

- axe des abscisses : 1 cm pour 5 objets ; - axe des ordonnées : 1 cm pour 5 €.

3) Chaque objet est vendu 2 €.

a) Exprimer le chiffre d’affaires A en fonction de x.

b) Représenter A(x) sur le même repère.

c) Déterminer graphiquement le nombre minimum d’objets à fabriquer pour réaliser un bénéfice.

d) Vérifier par le calcul votre réponse.

11. La production d'une entreprise est de 50 000 unités par mois. Elle diminue de 15% par mois.

a) Quand la production sera-t-elle de moins de 10 000 unités ? b) Quand la production sera-t-elle nulle ?

12. Résoudre dans l’intervalle ]0 ; +∞[ les équations : ln x = 2 ; ln x = -1 ; ln x = 3 13. Limite du programme.

Résoudre l'équation ln 2x = ln (3x – 1) après avoir déterminé l'ensemble de définition de cette équation.