        FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

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FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

I) DÉFINITION

La fonction Exp est continue et strictement croissante sur ℝ et lim_x_{ ∞}expx = +∞ , lim_x__–_∞expx = 0

donc d'après le th des valeurs intermédiaires , pour tout x >0 l’équation e^y = x admet une et une seule solution dans ℝ.

Il existe donc une fonction définie sur ]0,+∞[ qui à tout x > 0 associe l’unique réel y tel que e^y = x.

Cette fonction s’appelle fonction logarithme népérien et se note ln.

ln : ]0,+∞[  ℝ

x y tel que e^y = x R

q : on dit que ln est la bijection réciproque de Exp.

Conséquences :

ln(x) = y avec x > 0 ⇔ e^y = x Pour tout x >0 , e^ln(x) = x Pour tout réel x , ln ( e^x ) = x ln est continue car Exp l’est.

Exemples : e⁰ = 1 donc ln(1) = 0, e¹ = e donc ln(e) = 1 Ex : 1 – 2 p 155

Faire construire la courbe Th :

Dans un repère orthonormal les courbes représentatives de ln et de Exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. .

II) PROPRIÉTÉS

Pour tous les réels x > 0 et y > 0 et tout entier naturel n

ln ( x y ) = ln ( x ) + ln ( y ) ln



¹^x



= - ln ( x )

ln



^x^y



= ln ( x ) - ln ( y ) ln( xⁿ ) = n ln ( x ) ln



x = 1

2 ln ( x ) Démo : a = ln ( x y ) et b = ln ( x ) + ln ( y ) , Exp(a) = xy et Exp b = xy donc a = b

a = ln



¹^x



et b = - ln ( x )... Exp(a) = Exp (b) donc a = b

a = ln



^x^y



et b = ln ( x ) - ln ( y ) ... Exp(a) = Exp (b) donc a = b a = ln( xⁿ ) et b = n ln ( x ) ... Exp(a) = Exp (b) donc a = b

ln(x) = ln(



x²) = 2 ln( x ) Ex : 39 – 42 – 43 p 165

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III) DÉRIVABILITÉ ET LIMITES 1) Dérivabilité

pour tout x > 0 et a > 0 avec x ≠ a posons X = ln (x) et A = ln(a) Tx=lnx– lna

x – a = 1

e^X– e^A X – A or si x a alors X  A car ln continue. Donc lim

xaTx = lim

XA

1 e^X– e^A

X – A = 1

e^A = 1 a Propriété :

La fonction ln est dérivable sur ℝ^+∗ et pour tout x > 0 ln’ (x) = 1 x La fonction ln est strictement croissante sur ℝ^+∗

Propriété :

Si u est dérivable sur I et pour tout x de I , u(x) > 0 alors ln(u) est dérivable sur I et ( ln u)’ = u '

u.

Ex : 54 p167 62 – 64 p 168

2) Limites Propriété :

lim

x ∞

lnx=∞ et lim_x_0 lnx=–∞

Démo : posons x = e^t alors lim_x_∞lnx = lim_t_{ ∞}lne^t = lim_t_∞t=∞

posons t = 1

x alors lim_x_0 lnx = lim

t∞

ln



¹^t



^{= lim}^{t ∞}^{– ln}^^t^=–^∞

Tableau de variation

x 0 +∞

ln(x) –∞

+∞

conséquences :

Pour tous les réels a et b strictement positifs

ln(a) = ln(b) ⇔ a = b ln(a) < ln(b) ⇔ 0 < a < b ln(x) > n ⇔x > eⁿ ln(x) > 0 ⇔x > 1 ln(x) < n ⇔ 0 < x < eⁿ ln(x) < 0 ⇔ 0 < x < 1 Ex : 25 – 26 p 164 31 -32 p 164 ( inéquations et inéquations)

3) Limites particulières Propriété :

lim

h0

ln1h

h =1 et lim

x1

lnx x – 1=1

(3)

Propriété :

lim

x ∞

lnx

x =0

Démo : pour x>0 lnx

x =lnx

e^ln^x donc lim

x∞

lnx

x = lim

y∞

y e^y = 0

Propriété !!!!!! :

lim_x_0 x lnx=0 lim

x∞

lnx

xⁿ =0 et lim_x_0 xⁿlnx=0 pour n ∈ℕ* Exercices : 33 - 34 p 164 - 70 p 169 74 p 170

Etude de fonctions : 52 p 166 - 56 p 167 - 58 -59 p 168 - f(x) = ln



^{2 x – 1}^{x – 3}