Fonction logarithme
Herv ´e Hocquard
Universit ´e de Bordeaux, France
1ernovembre 2011
Transformer les produits en somme
Introduction La fonction x 7→ 1
x est continue sur]0; +∞[, elle admet une unique primitive qui s’annule en 1, c’est la fonction x7→
Z x 1
1 tdt.
Transformer les produits en somme
Introduction La fonction x 7→ 1
x est continue sur]0; +∞[, elle admet une unique primitive qui s’annule en 1, c’est la fonction x7→
Z x 1
1 tdt.
D ´efinition
L’unique primitive de la fonction x7→ 1
x sur]0; +∞[qui s’annule en 1 est appel ´ee logaritme n ´ep ´erien, elle est not ´ee ln. On a donc∀x>0,ln(x) =
Z x
1
1 tdt.
Cons ´equences
1 La fonction ln est d ´efinie sur l’intervalle]0; +∞[
2 ln 1=0
3 La fonction ln est d ´erivable sur l’intervalle]0; +∞[et pour tout r ´eel x>0, ln′(x) =1
x. La fonction ln est donc strictement croissante sur]0; +∞[.
Propri ´et ´es alg ´ebriques
Propri ´et ´e fondamentale
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs : ln(a×b) =ln(a) +ln(b)
Propri ´et ´es alg ´ebriques
Propri ´et ´e fondamentale
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs : ln(a×b) =ln(a) +ln(b)
Exercice : Preuve
a ´etant un r ´eel strictement positif, on consid `ere la fonction f d ´efinie sur]0; +∞[par f(x) =ln(ax)−ln x .
Propri ´et ´es alg ´ebriques
Propri ´et ´e fondamentale
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs : ln(a×b) =ln(a) +ln(b)
Exercice : Preuve
a ´etant un r ´eel strictement positif, on consid `ere la fonction f d ´efinie sur]0; +∞[par f(x) =ln(ax)−ln x .
Pour tout r ´eel x >0, f′(x) =a× 1
ax −1 x =1
x −1 x =0
Propri ´et ´es alg ´ebriques
Propri ´et ´e fondamentale
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs : ln(a×b) =ln(a) +ln(b)
Exercice : Preuve
a ´etant un r ´eel strictement positif, on consid `ere la fonction f d ´efinie sur]0; +∞[par f(x) =ln(ax)−ln x .
Pour tout r ´eel x >0, f′(x) =a× 1
ax −1 x =1
x −1 x =0
Pour tout r ´eel x >0, ln(ax) =ln a+ln x .
D’autres propri ´et ´es
Propri ´et ´es
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs et n entier relatif non nul :
1 ln
1
a
=−ln a
D’autres propri ´et ´es
Propri ´et ´es
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs et n entier relatif non nul :
1 ln
1
a
=−ln a
2 lna
b
=ln a−ln b
D’autres propri ´et ´es
Propri ´et ´es
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs et n entier relatif non nul :
1 ln
1
a
=−ln a
2 lna
b
=ln a−ln b
3 ln(an) =n ln a
D’autres propri ´et ´es
Propri ´et ´es
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs et n entier relatif non nul :
1 ln
1
a
=−ln a
2 lna
b
=ln a−ln b
3 ln(an) =n ln a
4 ln √
a
=1 2ln a
D’autres propri ´et ´es
Propri ´et ´es
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs et n entier relatif non nul :
1 ln
1
a
=−ln a
2 lna
b
=ln a−ln b
3 ln(an) =n ln a
4 ln √
a
=1 2ln a Exercice : Preuve
Limites
Limites importantes
x→lim+∞ln x= +∞ ; lim
x→0+ln x=−∞
x→lim+∞
ln x
x =0 ; lim
x→0x ln x =0 ; lim
x→1
ln x x−1 =1
Limites
Limites importantes
x→lim+∞ln x= +∞ ; lim
x→0+ln x=−∞
x→lim+∞
ln x
x =0 ; lim
x→0x ln x =0 ; lim
x→1
ln x x−1 =1 Exercice : Preuve
Etude de la fonction logarithme n ´ep ´erien ´
Propri ´et ´e
La fonction ln est strictement croissante sur]0; +∞[.
Etude de la fonction logarithme n ´ep ´erien ´
Propri ´et ´e
La fonction ln est strictement croissante sur]0; +∞[.
Cons ´equences
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs : ln a=ln b si et seulement si a=b ln a>ln b si et seulement si a>b
Etude de la fonction logarithme n ´ep ´erien ´
Propri ´et ´e
La fonction ln est strictement croissante sur]0; +∞[.
Cons ´equences
Pour tous r ´eels a et b strictement positifs : ln a=ln b si et seulement si a=b ln a>ln b si et seulement si a>b
Puisque ln 1=0 : Pour tout r ´eel x strictement positif : ln x=0 si et seulement si x=1
ln x>0 si et seulement si x>1 ln x<0 si et seulement si 0<x <1
Applications
Exercice
1 R ´esoudre dansRl’ ´equation ln(2x−1) =ln(x−2).
2 R ´esoudre dansRl’in ´equation ln(x2−4)<ln x .
3 R ´esoudre dans]0; +∞[l’ ´equation 2(ln x)2−3 ln x+1=0.
Tableau de variations
x
Signe de 1
x
Variation de ln
0 +∞
+
−∞
+∞
+∞
1
0
e
1
Le nombre e est le nombre tel que ln e=1.
Courbe repr ´esentative
1
-1
-2
1 2 3 4
O x
y
e
y=ln x
In ´egalit ´e de convexit ´e
Th ´eor `eme
∀x>0,ln(x)≤x−1
In ´egalit ´e de convexit ´e
Th ´eor `eme
∀x>0,ln(x)≤x−1 Exercice
Prouver le r ´esultat pr ´ec ´edent.
Fonction ln(u)
Soit u une fonction d ´efinie et strictement positive sur un intervalle I. La compos ´ee de la fonction u suivie de la fonction ln est not ´ee ln(u).
Fonction ln(u)
Soit u une fonction d ´efinie et strictement positive sur un intervalle I. La compos ´ee de la fonction u suivie de la fonction ln est not ´ee ln(u).
Th ´eor `eme
Soit u une fonction d ´efinie et strictement positive sur un intervalle I. Les fonctions u et ln(u)ont les m ˆemes variations sur I.
Fonction ln(u)
Soit u une fonction d ´efinie et strictement positive sur un intervalle I. La compos ´ee de la fonction u suivie de la fonction ln est not ´ee ln(u).
Th ´eor `eme
Soit u une fonction d ´efinie et strictement positive sur un intervalle I. Les fonctions u et ln(u)ont les m ˆemes variations sur I.
Th ´eor `eme
Soit u une fonction d ´erivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln(u)est d ´erivable sur I et(ln u)′= u′
u.
Autres fonctions logarithmes
D ´efinition
Soit a un r ´eel strictement positif, a6=1.
On appelle fonction logarithme de base a la fonction not ´ee loga d ´efinie sur ]0; +∞[par : loga(x) =ln x
ln a.
La fonction logarithme de base 10 est not ´ee log, elle est appel ´ee fonction logarithme d ´ecimal.
Autres fonctions logarithmes
D ´efinition
Soit a un r ´eel strictement positif, a6=1.
On appelle fonction logarithme de base a la fonction not ´ee loga d ´efinie sur ]0; +∞[par : loga(x) =ln x
ln a.
La fonction logarithme de base 10 est not ´ee log, elle est appel ´ee fonction logarithme d ´ecimal.
1 La fonction logaa les propri ´et ´es alg ´ebriques de la fonction ln.
2 Pour tout r ´eel a strictement positif et a6=1, loga(a) =1 ; en particulier : log(10) =1.
3 Pour tout n∈Z, log(10n) =n.
