  FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

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FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

I) DÉFINITION

La fonction Exp est continue et strictement croissante sur ℝ et à valeurs dans ]0 ;∞[ donc d'après le th des valeurs intermédiaires ,

pour tout a >0 il existe un et un seul réel b tel que e^b = a.

b se note ln(a) et s'appelle le logarithme népérien de a.

Il existe donc une fonction définie sur ]0,+∞[ qui à tout x > 0 associe l’unique réel y tel que e^y = x.

Cette fonction s’appelle fonction logarithme népérien et se note ln.

ln : ]0,+∞[  ℝ

x y tel que e^y = x R

q : on dit que ln est la bijection réciproque de Exp.

Conséquences :

ln(x) = y avec x > 0 ⇔ e^y = x Pour tout x >0 , e^ln(x) = x Pour tout réel x , ln ( e^x ) = x

Exemples : e⁰ = 1 donc ln(1) = 0 ; e¹ = e donc ln(e) = 1 ; e^{– 1}=1

e donc ln



¹^e



⁼^{– 1 .}

Exercices : 4 – 5 – 6 – 7 p 91 39 – 41 p 98 (équations)

Propriété

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de ln et de Exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. .

Propriété (admise)

La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur ^]0 ;∞[

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II) ETUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Propriété :

La fonction ln est dérivable sur ℝ^+∗ et pour tout x > 0 ln’ (x) = 1

x

La fonction ln est strictement croissante sur ℝ^+∗

Démonstration :

Soit pour x > 0 fx=e^ln^x alors f 'x=ln 'xe^ln^x^ = ln 'x×x or f(x) = x donc f 'x=1 d'où ln 'x×x=1 donc ln 'x=1

x

On en déduit le tableau de variation suivant :

conséquences :

Pour tous les réels a et b strictement positifs

ln(a) = ln(b) ⇔ a = b ln(a) < ln(b) ⇔ 0 < a < b ln(x) > n ⇔x > eⁿ ln(x) > 0 ⇔x > 1

ln(x) < n ⇔ 0 < x < eⁿ ln(x) < 0 ⇔ 0 < x < 1

On en déduit le tableau des signes :

Exercices : 12 p93 62 – 63 – 64 – 65 p 100 (inéquations)

44 – 45 – 46 – 47 – 48 – 53 – 54 - 55 p 99 (dérivées et variations) Devoir maison : 102 p 107 (étude de fonction avec fonction auxiliaire) + 108 p 108

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III) PROPRIÉTES ALGEBRIQUES

Relation fonctionnelle :

^{=– ln}^^x^.

^=ln^x^^{– ln}^y

e^ln^xⁿ^=xⁿ et e^n×ln^^x=e^ln^xⁿ=xⁿ donc ln( xⁿ ) = n ln ( x )

Exercices : 67 – 68 – 70 p100 73 – 75 p 101

IV) UTILISATION DE ln POUR RESOUDRE DES EQUATIONS ET DES INEQUATIONS.

Ex 1 : résoudre dans ℝ⁺ x⁷=100

x⁷=100 ⇔ lnx⁷=ln100 ⇔ 7 lnx=ln100 ⇔ ^ln^x=^ln^100₇ ⇔ x=e

1n100

7

Ex 2 : soit la suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0=5, déterminer le plus petit entier n à partir duquel un10⁶

u_n=5×2ⁿ donc _u_n_10⁶ ⇔ 2ⁿ10⁶

ln2 ≈ 17,6 donc le plus petit n est 18

Ex 3 : soit la suite géométrique de raison 1

2 et de premier terme ^u0=3, déterminer le plus petit entier n à partir duquel u_n10⁻⁵

^⁰⁾

Exercices : 81 – 82 p 101