Activit´e de math´ematiques
Fonctions exponentielles - Fonctions logarithmes
1 Fonctions exponentielles
D´efinition 1. Soitaun r´eel strictement positif, on appelle fonction exponentielle de basea, la fonction expa d´efinie parexpa(x) =exlna.
1. (a) Montrer que expe= exp et que expa(x+y) = expa(x) expa(y) pour xety r´eels.
(b) Montrer que expa(n) =an pour n∈N, en d´eduire une autre notation possible pour expa(x).
(c) Montrer que la fonction expa est d´efinie et d´erivable surR et calculer exp′a. (d) En d´eduire les variations de la fonction expasuivant les valeurs dea.
2. (a) Montrer que l’´equationxn=y0 admet une unique solution positivex0 pour n∈N∗ ety0 >0.
(b) Montrer que siy0 >0 alors x0=y0
1 n.
2 Fonctions logarithmes
D´efinition 2. Soit aun r´eel strictement positif diff´erent de 1, on appelle fonction logarithme de basea, la fonction loga d´efinie par loga(x) = lnx
lna.
1. Montrer que loge= ln et que loga(xy) = loga(x) + loga(y) pourx ety r´eels et strictement positifs.
2. (a) Montrer que l’´equation ax = y0 admet une unique solution x0 pour y0 strictement positif etastrictement positif diff´erent de 1.
(b) Montrer quex0 = loga(y0).
www.emmanuelmorand.net 1/1 Ts0809Chap08Activite
