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Academic year: 2022

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Fiche BAC 01 Term. ES

Fonctions exponentielles

Cette fiche sera complétée au fur et à mesure

Exercice n°1. BAC ES 2000. [RÉSOLU]

Le graphique donné en annexe est celui de la courbe représentative Γ (lire gamma) d'une fonction f définie sur [0 ;4] et de ses tangentes aux points d'abscisses 1 et 3

2 . 1°) Lire graphiquement f (1), f '(1) et f '(32) .

2°) Parmi les trois courbes données en annexe, laquelle est susceptible de représenter la fonction dérivée f ' de f ? Justifier votre réponse à l'aide d'arguments graphiques.

3°) On admet que l'expression de la fonction f s'écrit f (x)=(a x+b)e−x+1 , où a et b sont des nombres réels à déterminer.

a) Calculer la dérivée f ' de f .

b) En utilisant les données de la question 1, déterminer les valeurs de a et de b.

c) Étudier le sens de variations de la fonction f et dresser son tableau de variations.

d) Résoudre l'équation f (x) = 0.

ANNEXES

Courbe Γ de f Courbe C1

Courbe C2 Courbe C3

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Corrigé

1°) Lire graphiquement f (1), f '(1) et f '(32) .

- La courbe passe par le point de coordonnées A (1;1) donc f (1) = 1.

- La tangente T1 à la courbe Γ en ce point passe par l'origine O(0;0) et par A (1;1) donc son coefficient directeur est f '(1)=m1=Δy

Δx=1−0

1−0=1 donc f '(1) = 1.

- La tangente T1,5 à la courbe Γ au point d'abscisse 32 es parallèle à l'axe des abscisses [horizontale], donc son coefficient directeur est nul. Donc : f '(32)=0 .

2°) Parmi les trois courbes données en annexe, laquelle est susceptible de représenter la fonction dérivée f ' de f ? Justifier votre réponse à l'aide d'arguments graphiques.

La courbe de f ' doit passer par les points de coordonnées A (1;1) et (1,5 ;0). Seule la courbe n°2 remplit ces deux conditions. Donc Cf ' = C2.

3.a) Calculer la dérivée f ' de f .

f est un produit de deux fonctions : f (x)=u(x)×v(x) , avec u(x)=a x+b u '(x)=a

et v(x)=ex+1 v '(x)=−1ex+1 Donc f '(x)=u'(xv(x)+u(x)×v '(x)

f '(x)=a×e−x+1+(a x+b)×(−1e−x+1) f '(x)=a×ex+1−(a x+b)×e−x+1

On met e−x+1 en facteur (à droite). Ce qui donne : f '(x)=(a−a x−b)×e−x+1

Conclusion : por tout x∈[0;4] f '(x)=(−a x+a−b)e−x+1

3.b) En utilisant les données de la question 1, déterminer les valeurs de a et de b.

On sait que : f '(1) = 1, donc (−a×1+a−b)e−1+1=1 , donc −be0=1 . On obtient une première équation :

– b = 1 (1)

D'autre part, f '(32)=0 donc (−a×1,5+a−b)e−1,5+1=0 donc

(−0,5a−b)e−0,5=0 . Or, pour tout nombre réel x : ex > 0, donc e–0,5 > 0, donc différent de 0. On obtient une deuxième équation :

−0,5a−b=0 (2)

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On obtient ainsi le système de 2 équations à deux inconnues :

{−b=0,51ab=0 donc {−0,5b=−1a−(−1)=0 donc {b=−10,5a=−1 donc {b=−1a=2 Conclusion : La fonction f est définie par : f (x)=(2x−1)ex+1

3.c) Étudier le sens de variations de la fonction f et dresser son tableau de variations.

D'après la question 3.a) on a f '(x)=(−a x+a−b)ex+1 avec a = 2 et b = –1.

Donc, pour tout x∈[0;4] : f '(x)=(−2x+2−(−1))e−x+1 Par conséquent : f '(x)=(−2x+3)e−x+1

Étude du signe de f '(x).

f '(x) = 0 ssi (−2x+3)e−x+1=0

ssi (−2x+3)=0 ou e−x+1=0

Or, pour tout nombre réel x : ex > 0, donc e–0,5 > 0, donc différent de 0. Donc, f '(x) = 0 ssi −2x+3=0 ssi x=3

2 De même :

f '(x) > 0 ssi (−2x+3)e−x+1>0

Or, pour tout réel x : ex > 0. Donc, le signe de f '(x) est le même que celui de –2x+3.

Donc f '(x) > 0 ssi x<3

2 [donc f '(x) < 0 de l'autre côté].

On obtient le TV de la fonction sur [0;4] :

x 0 3/2 4 f '(x) + 0 –

f(x) f (3/2) à calculer

f(0) f (4) à calculer à calculer

3.d) Résoudre l'équation f (x) = 0.

f (x) = 0 ssi (2x−1)e−x+1=0

ssi (2x−1)=0 ou ex+1=0

Or, pour tout nombre réel x : ex > 0, donc e–0,5 > 0, donc différent de 0. Donc, f (x) = 0 ssi 2x−1=0 ssi x=1

2

Conclusion : Cette équation admet une seule solution sur [0;4]. Donc S=

{

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}

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