5.2 Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances

(1)

Chapitre 5

Fonctions Usuelles

5.1 Fonctions Polynômiales et Rationnelles

Définition 5.1.1 On appelle fonction polynômiale toute fonction réelle du type f :x7→a0+a1x+. . .+ anxⁿ, oùa0, . . . , an sont des constantes réelles fixées.

Dans le cas oùan6= 0, on dit quef est de degrén ♠

Proposition 5.1.1 Toute combinaison linéaire de fonctions polynômiales est une fonction polynômiale.

Tout produit de fonctions polynômiale est une fonction polynômiale. ♣ Proposition 5.1.2 Toute fonction polynômiale est continue et dérivable surR. Et de plus la dérivée est encore une fonction polynômiale. Plus précisément

(a0+a1x+. . .+anxⁿ)⁰ =a1+. . .+nanxⁿ⁻¹

♣ Proposition 5.1.3 Soitn∈N^∗ et(ai)i∈[|0,n|] une famille de réels fixés avecan6= 0.

x→+∞lim a0+a1x+. . .+anxⁿ= lim

n→+∞anxⁿ et lim

x→−∞a0+a1x+. . .+anxⁿ= lim

x→−∞anxⁿ

♣ Proposition 5.1.4 Soitf une fonction polynômiale de degré n ≥1, alors pour touty ∈R, l’équation d’inconnuex

f(x) =y admet au plus nsolutions.

Dans le cas oùy= 0, les solutions sont appelées racines de f ♣

Définition 5.1.2 On appelle fonction rationnelle toute fonction qui s’écrit comme le quotient de deux fonctions polynômiales. Tout fonction rationnelle est définie surRprivé d’un nombre fini de points. ♠ Proposition 5.1.5 Toute combinaison linéaire de fonctions rationnelles est une fonction rationnelle.

Tout produit ou quotient de fonctions rationnelles est une fonction rationnelle. ♣ Proposition 5.1.6 Toute fonction rationnelle est continue et dérivable sur son domaine de définition.

Et de plus la dérivée est encore une fonction rationnelle ayant même domaine de définition ♣ Proposition 5.1.7 Soientn, p∈N^∗ et(ai)i∈[|0,n|] et(bj)j∈[|0,p|] deux familles de réels fixés avecan6= 0 etbp6= 0.

x→+∞lim

a0+a1x+. . .+anxⁿ

b0+. . .+bpx^p = lim

n→+∞

an

bpx^n−p et lim

x→−∞

a0+a1x+. . .+anxⁿ

b0+. . .+bpx^p = lim

x→−∞

an

bpx^n−p

♣

(2)

5.2 Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances

5.2.1 exponentielle réelle

Proposition 5.2.1 (Définition) La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable et définie sur R, notéeexpet vérifiant

∀(x, y)∈R², exp(x+y) = exp(x) exp(y) et (exp)⁰(0) = 1

on note e^def= exp(1)le nombre de Néper. ♣

Remarque 5.2.1 En particulierexp(0) = 1et∀x∈R, exp(−x) = _exp(x)¹ ∗ Proposition 5.2.2 La fonction exponentielle réalise une bijection strictement croissante entreRet R^∗₊ et vérifie

x→−∞lim exp(x) = 0 et lim

x→+∞exp(x) = +∞

(exp)⁰= exp

♣ PreuveNous ne montrons que la dérivée. On dérive la propriété fondamentale par rapport ày

d

dyexp(x+y) = d

dy(exp(x) exp(y))

puis on évalue eny= 0 •

Représentation Graphique

Lemme 5.2.3 Le graphe de la fonction exponentiel est au dessus de sa tangente en 0:

∀x∈R, exp(x)≥1 +x

♣ Exercice: le prouver

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

(3)

5.2. FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMES, PUISSANCES 3

5.2.2 Logarithme

Proposition 5.2.4 (Définition) la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la bijec- tion induite par l’exponentielle. Elle se note ln elle est définie et dérivable surR^∗₊ et vérifie

∀(x, y)∈(R^∗₊)², ln(xy) = ln(x) + ln(y) et (ln)⁰(1) = 0 En particulierln(e) = 1 et cette fonction est dérivable surR^∗₊ avec

∀x >0, (ln)⁰(x) = 1 x

♣ Preuve Le théorème de la bijection nous assure l’existence, la continuité et la dérivabilité de ln (car (exp)⁰ ne s’annule jamais). En particulier

(ln)⁰(x) = 1

(exp)⁰(ln(x))= 1 x

Pour relation fondamentale il suffit de prendrex=exp(X)ety=exp(Y). • Remarque 5.2.2

y = exp(x)

x ∈ R

¾

⇐⇒

½ x = lny y ∈ R^∗₊ et

∀y >0, exp(lny) =y et ∀x∈R, ln(expx) =x

∗ Proposition 5.2.5 La fonction logarithme népérien réalise une bijection strictement croissante entreR^∗₊ etRet vérifie

x→0limln(x) =−∞ et lim

x→+∞ln(x) = +∞

Lemme 5.2.6 Le graphe de la fonction logarithme est en dessous de sa tangente en1 :

∀x∈R, ln(x)≤x−1

Proposition 5.2.7 (logarithme base b) Soitb >0avecb6= 1, on appelle logarithme basebla fonction notéeLogb est définie par

Logb:x7→ ln(x) ln(b) Elle est définie et dérivable surR^∗₊ et vérifie

∀(x, y)∈(R^∗₊)², Logb(xy) =Logb(x) +Logb(y)

♣ Proposition 5.2.8

• Si 0< b <1Alors

La fonction logarithme baseb réalise une bijection strictement décroissante entreR^∗₊ etR

• Si b >1 Alors

La fonction logarithme baseb réalise une bijection strictement croissante entreR^∗₊ etR ♣

PierredeFermat-MartinDelHierro

(4)

5.2.3 Fonction Puissance

Définition 5.2.1 Soitn∈Navec n≥2, on appelle fonction racinen-ième la fonction réciproque de la bijection

ϕn: R+ −→ R+

x 7→ xⁿ On note

y = xⁿ x ∈ R+

¾

⇐⇒

½ x = √ⁿ y y ∈ R+

♠ Définition 5.2.2 Pour toutα∈R, et pour toutx >0, on pose

x^{α def}= exp[αln(x)]

On définit ainsi la fonction puissanceαdéfinie surR^∗₊ parx7→x^α. En particulier

∀x∈R, e^x= exp(x)

♠ Remarque 5.2.3 Pourαentier relatif,x^α coïncide avec la puissanceα-ième dex(pourx >0).

Siα= 1/n on retrouve alors la racinen-ième.

∗ Remarque 5.2.4 On a pour toutb >0 avec b6= 1,

∀(x, y)∈R², b^x+y =b^xb^y et (b^x)^y=b^xy y = b^x

x ∈ R

¾

⇐⇒

½ x = Log_by y ∈ R^∗₊

∗ Proposition 5.2.9 La fonction puissanceαvérifie.

∀(x, y)∈(R^∗₊)², (xy)^α=x^αy^α et ln(x^α) =αln(x)

♣ Proposition 5.2.10 La fonction puissance αest définie et dérivable surR^∗₊ et vérifie

d

dx(x^α) =αx^α−1

En particulier elle réalise une bijection strictement croissante entre R^∗₊ etR^∗₊, pourα >0.

Et une bijection strictement décroissante entreR^∗₊ et R^∗₊, pourα <0 ♣

(5)

5.2. FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMES, PUISSANCES 5

Exercice: Soient u : I −→ R^∗₊ et v : I −→ R deux fonctions dérivables sur l’intervalle I, montrer qu’alors la fonctionx7→u(x)^v(x)est définie et dérivable surIet calculer sa fonction dérivée

x7→

µ

v⁰(x) lnu(x) +v(x) u(x)

¶

u(x)^v(x)

5.2.4 Croissances Comparées

Proposition 5.2.11 Pour tout αréel

x→+∞lim exp(x)

x^α = +∞

♣ DémonstrationSiα≤0facile. Supposons α >0 Posonsf :x7→^exp(x)^√_x

∀x >0, exp(x)

√x ≥ 1 +x

√x Or

x→+∞lim 1 +x

√x = lim

x→+∞

√1 x+√

x= +∞

D’où par le théorème des gendarmes

√x = +∞

Si on pose le changement de variableϕ:x7→ _2α^x commeϕ(x)−→+∞lorsquex→+∞, le théorème de composition des limites nous donne

x→+∞lim

exp(_2α^x) p_x

2α

= lim

x→+∞f◦ϕ(x) = lim

y→+∞f(y) = +∞

D’où

x→+∞lim

exp(_2α^x)

√x = +∞

Et donc par composition à gauche avec la fonction puissance2α, il vient

x^α = lim

x→+∞

µexp(_2α^x)

√x

¶2α

= lim

y→+∞y^2α= +∞

•

(6)

Corollaire 5.2.12 Pour tout αréel

x→−∞lim exp(x)

|x|^α = 0

♣ PreuvePar le changement de variablex7→ −x, il vient

x→−∞lim exp(x)

|x|^α = lim

y→+∞

exp(−y)

| −y|^α = lim

y→+∞

y^−α exp(y) = 0

On conclut grâce à la proposition précédente et aux théorèmes sur les limites (limite de l’inverse d’une

fonction) •

Remarque 5.2.5 On peut également écrire pouraetb deux réels strictement positifs.

x→+∞lim

exp(ax)

x^b = +∞ et lim

x→−∞|x|^bexp(ax) = 0

∗ Proposition 5.2.13 Pour tout α >0

x→+∞lim ln(x)

x^α = 0

♣ PreuvePosonsf :x7→^ln(x)_xα .

Si on pose le changement de variable ϕ:x7→ln(x)commeϕ(x)−→+∞lorsque x→+∞, le théorème de composition des limites nous donne

x→+∞lim ln(x)

x^α = lim

x→+∞

ϕ(x)

exp(ϕ(x)))^α = lim

x→+∞

ϕ(x)

exp(αϕ(x)) = lim

x→+∞

ϕ(x)

exp(ϕ(x)))^α = lim

y→+∞

y exp(αy) Or par le changement de variable ψ : y 7→αy, comme ψ(y)−→+∞ lorsque y→+∞, le théorème de composition des limites nous donne

y→+∞lim y

exp(αy) = lim

y→+∞

1 α

ψ(y)

exp(ψ(y)) = lim

z→+∞

1 α

z exp(z) = 0

• Corollaire 5.2.14 Pour tout α >0

x→0lim⁺x^αln(x) = 0

♣ PreuvePar le changement de variablex7→1/x, il vient

x→0lim⁺x^αln(x) = lim

y→+∞−ln(y) y^α = 0

• Remarque 5.2.6 On peut retenir ces quatre dernières propositions en classant par ordre de domination :

ln(x)≪x^α≪exp(x)

∗

(7)

5.3. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 7

5.3 Fonctions Hyperboliques

5.3.1 Fonctions Hyperboliques

Définition 5.3.1 On appelle sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique les parties respectivement im- paires et paires de l’exponentiel. On les noteshetch.

∀x∈R, sh(x) =e^x−e^−x

2 et ch(x) =e^x+e^−x 2

♠

Remarque 5.3.1 On a pour toutxréelexp(x) =chx+shx ∗

Proposition 5.3.1 Les fonctions sinus et cosinus hyperboliques sont dérivables surRet vérifient (sh)⁰=ch et (ch)⁰=sh

Par ailleurs

(∗) ∀x∈R, ch²x−sh²x= 1

♣ PreuveDérivabilité et dérivée simples. La relation fondamentale provient du calcul directe. •

Proposition 5.3.2 La fonction sinus hyperbolique réalise une bijection strictement croissante entreRet RLa fonction cosinus hyperbolique, n’est pas injective sur R, cependant elle induit une bijection stricte- ment croissonte entreR+ et[1,+∞[En particulier

lim+∞ch= lim

+∞sh= +∞

Et résultat analogue en −∞(cf parité) ♣

PreuveMontrons que

∀x∈R, chx≥1 En effet chxest manifestement positive (voir formule) et

ch²x= 1 +sh²x≥1 Et on conclut grâce à la croissance de la racine carrée.

On en déduit que sh de dérivée≥1 est strictement croissante surR. Orlim+∞sh = +∞(voir formule calcul simple) et de même (ou par parité)lim−∞sh=−∞D’où d’après le théorème de la bijection, on en déduit que sh est une bijection entreRetR.

Par parité de ch on voit que ch n’est pas injective. En revanche d’après ce qui précède.

∀x∈R,(ch)⁰(x) =shx >sh0 = 0

Et donc ch est strictement croissante sur]0,+∞[et par continuité sur[0,+∞[. Enfin un calcul de limites simple nous donne

lim0 ch= 1 et lim

+∞= +∞

D’où la conclusion par le théorème de la bijection •

(8)

Remarque 5.3.2 Puisque

chx=e^x1 +e^−2x

2 et shx=e^x1−e^−2x 2 On a

x→+∞lim chx

e^x = lim

x→+∞

shx e^x = 1

2

Et donc, on en déduit que ch et sh se comportent asymptotiquement en+∞comme la fonctionx7→ ^exp(x)₂ .

∗

Remarque 5.3.3 la bijectivité et la relation (∗) nous montrent que les fonctions hyperboliques nous permettent de paramétrer les hyperboles du plan. En particulier dans le demi-plan {x >0} la branche de l’hyperbole d’équationx²−y²= 1 admet pour équation paramétrique

½ x = cht

y = sht t∈R

∗

Exercice: Montrer les relations suivantes

∀(x, y)∈R², ch(x+y) =ch(x)ch(y) +sh(x)sh(y)

(9)

∀(x, y)∈R², ch(x−y) =ch(x)ch(y)−sh(x)sh(y)

∀(x, y)∈R², sh(x+y) =sh(x)ch(y) +ch(x)sh(y)

∀(x, y)∈R², sh(x−y) =sh(x)ch(y)−ch(x)sh(y)

Définition 5.3.2 On appelle tangente hyperbolique, la fonction notée th et définie sur Rpar th:x7→ shx

chx= e^2x−1 e^2x+ 1

Cette fonction est impaire ♠

Proposition 5.3.3 La fonction tangente hyperbolique est dérivable surRet (th)⁰ = 1−th²= 1

ch²

♣ PreuveDérivabilité et dérivée d’un quotient.

Puis

1−th²= ch²−sh² ch² = 1

ch²

• Proposition 5.3.4 La fonction tangente hyperbolique induit une bijection entreRet]−1,1[. En parti- culier

lim+∞th= 1 et lim

−∞th=−1

♣ PreuveVu que la dérivée est strictement positive, th est strictement croissante et puisque (voir calcul remarque)

lim+∞th= lim

x→+∞

e^x^1−e₂^−2x

e^x^1+e₂^−2x = lim

x→+∞

1−e^−2x 1 +e^−2x = 1

idem en−1 (ou parité) On conclut grâce au théorème de la bijection. •

(10)

5.3.2 Fonctions Hyperboliques Réciproques

D’après ce qui précède on a les bijections (continues, dérivables et strictement monotones) : : φ_s: R −→ R

x 7→ shx

φ_c: R₊ −→ [1,+∞[

x 7→ chx

φ_t: R −→ ]−1,1[

x 7→ thx

On note alors Argsh,Argch et Argth les fonctions réciproques, elles sont (d’après le théorème de la bijection) continues et :

Argsh:R−→R % Argch: [1,+∞[−→R₊ % Argth:]−1,1[−→R %

Remarque 5.3.4 Les fonctions Argsh et Argth sont impaires ∗ Remarque 5.3.5 Attentionarctann’a rien à voir avec ^arcsin_arccos ∗ Exercice: calculer les limites de ces trois fonctions aux bornes de leurs domaines de définition

(11)

Lemme 5.3.5 On a les relations suivantes

∀x∈R, Argsh(shx) =sh(Argshx) =x

∀x≥1, ch(argchx) =x

∀x∈R, Argch(chx) =|x|

∀x∈R, ch(Argshx) =p x²+ 1

∀x≥1, sh(Argchx) =p x²−1

∀x∈R, Argth(thx) =x

∀x∈]−1,1[, th(Argthx) =x

♣ Preuveles deux premières et les deux dernières assertions découlent directement de la caractérisation des réciproques deφs, φc etφt(Par exemple Argch◦ϕc=IdR+)

La troisième : provient du fait que Argch◦ch est paire (car ch l’est) et que par construction

∀x∈R+, (Argch◦ch)(x) = (Argch◦ϕc)(x) =x la quatrième assertion provient du fait que :

ch²(Argshx) =sh²(Argshx) + 1 =x²+ 1 Et on conclut grâce au fait que ch ne prend que des valeurs positives.

De même pourx≥1,

sh²(Argchx) = 1−ch²(Argchx) = 1−x² et sh(Argchx)car Argchx≥0 et que sh est positive surR+.

•

(12)

Proposition 5.3.6 La Fonctions argument sinus hyperbolique est dérivable surRet

∀x∈R, (Argsh)⁰(x) = 1

√x²+ 1

la fonction argument cosinus hyperbolique est dérivable sur ]1,+∞[et

∀x∈]1,+∞[, (Argsh)⁰(x) = 1

√x²−1

la fonction argument tangente hyperbolique est dérivable sur ]−1,1[et

∀x∈]−1,1[, (Argth)⁰(x) = 1 1−x²

♣ PreuvePar le théorème de la bijection (version dérivable), puisque

∀x∈R, (φs)⁰(x) =chx6= 0

∀x∈]0,+∞[, (φc)⁰(x) =shx6= 0

∀x∈R, (φt)⁰(x) = 1 ch²x 6= 0 On en déduit

∀y∈R, (φ⁻¹_s )⁰(y) = 1

(φs)⁰(φ⁻¹s (y)) = 1 ch(Argsh(y))

∀y∈]1,+∞[, (φ⁻¹_c )⁰(y) = 1

(φs)⁰(φ⁻¹s (y)) = 1 sh(Argch(y))

∀y∈]−1,1[, (φ⁻¹_t )⁰(y) = 1

(φs)⁰(φ⁻¹s (y))= 1

1−th²(Argth(y))

• Remarque 5.3.6 En1 la fonction Argch n’est pas dérivable. Elle admet une tangente verticale en ce

point. ∗

5.4 Fonctions Circulaires

5.4.1 Fonctions Circulaires

Définition 5.4.1 On appelle sinus et cosinus les parties respectivement réelle et imaginaire de l’expo- nentiel complexe.Elle sont définies surRet2π−périodiques, on les notesin etcos.

On note alorstan = ^sin_cos la fonction tangente, elle estπ−périodique et définie sur Dtan = [

k∈Z

]kπ−π 2,π

2 +kπ[

♠ Remarque 5.4.1 On renvoie au chapitre sur la trigonométrie pour revoir les propriétés concernant ces fonctions. On en déduit en particulier les symétries suivantes :

la fonction cosinus est paire, les fonctions sinus et tangente sont impaires.

∗

Exercice: quelles symétries vérifient les courbes représentatives de sin et cos par rapport à l’axe x=π et au point(π,0)respectivement (dans un r.o.n.d.)

(13)

5.4. FONCTIONS CIRCULAIRES 13

Lemme 5.4.1

x→0limsinx= 0 et lim

x→0cosx= 1

x→0lim sinx

x = 1 et lim

x→0

1−cosx x² =1

2

♣ PreuvePar un argument géométrique simple, on montre que

∀α∈[0, π/2], 0≤sin(α)≤α

En effet, soient 0 le centre du cercle trigonométrique puis A et M deux points de ce cercle formant un angle orienté de α. Il suffit alors de comparer l’aire du secteur angulaire OAM\ avec celle du triangle OAM.

On en déduit grâce à la parité du sinus que :

∀α∈[−π/2, π/2], 0≤ |sin(α)| ≤ |α|

On conclut grâce au théorème des gendarmes, en faisant tendreαvers0

On en déduit la deuxième limite par un passage à la limite en0 dans la formule cos(x) = 1−2 sin²(x

2) On a donc établi que

Les fonctions sinus et cosinus sont continues en0 Montrons la troisième limite :

Soitα∈[0, π/2], considérons sur le cercle unité de centre O, les pointsM(cosα,sinα)etA(1,0)Considé- rons également le pointP(1,tanα)∈(0M). En comparant les aires du triangle0AMdu secteur angulaire 0AM[ et du triangleOAP, on voit que :

sinα 2 ≤ α

2 ≤ tanα 2 D’où

cosα≤sinα α ≤1

puisque le cosinus est continu en0, on en déduit par le théorème des gendarmes :

α→0lim⁺ sinα

α = 1 D’autre par, puisque le sinus est impair

α→0lim⁻ sinα

α = lim

α→0⁺

sin(−α)

−α = lim

α→0⁺

sinα α = 1

(14)

Conclusion

α→0lim sinα

α = 1 Pour le cosinus : il suffit de voir que

1−cosx

x² = 2 sin²(^x₂) x² = 1

2

sin²(^x₂)

¡_x

2

¢₂

D’où par passage à la limite

x→0lim

1−cosx x² =1

2

• Corollaire 5.4.2 les fonctions sinus et cosinus sont continues et dérivables surR, et

(sin)⁰ = cos et (cos)⁰ =−sin

♣ PreuveOn se sert des deux premières limites. Soit alorsx∈Rquelconque.

∀h∈R, sin(x+h) = sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h)

En utilisant les continuités en0, déjà établies, et en faisant appel à la linéarité de la limite, on voit que :

h→0limsin(x+h) = sin(x) Et donc la fonctionsinus est continue en x.... donc sur R.

Lacontinuité de cosinusdécoule alors de l’identité cos(x) = sin(x+π

2)

Pour la dérivée on se sert des deux dernières limites plus particulièrement de

h→0lim

cosh−1

h =−lim

h→0h1−cosh h² = 0 On conclut alors en faisant h→0 dans les égalités ci-dessous.

sin(x+h)−sin(x)

h = sin(x)cos(h)−1

h + cosxsin(h) h cos(x+h)−cos(x)

h = cos(x)cos(h)−1

h −sinxsin(h) h

• Exercice: Montrer que∀x∈[0,^pi₂], ^2x_π ≤sinx≤x

Corollaire 5.4.3 La fonction tangente est dérivable surRet (tan)⁰= 1 + tan²= 1

cos²

♣ PreuveDérivabilité et dérivée d’un quotient.

Puis

1 + tan²= cos²+ sin² cos² = 1

cos²

•

(15)

Proposition 5.4.4 La fonction tangente hyperbolique induit une bijection entre]−^π₂,^π₂[ etR. En par- ticulier

+lim^π₂⁻tan = +∞ et lim

−^π₂⁺tan =−∞

♣ PreuvePuisquelim^π

2−sin = 1etlim^π

2−cos = 0⁺ D’où

+lim^π₂⁻tan = +∞

la limité en−^π₂⁺ se déduit de façon analogue ou en invoquant la caractère impaire de tan. Par ailleurs tanest continue dérivable de dérivée strictement positive sur ]−^π₂,^π₂[ (car _cos¹2 l’est), on conclut grâce

au théorème de la bijection. •

5.4.2 Fonctions circulaires Réciproques

D’après ce qui précède on a les bijections (continues, dérivables et strictement monotones) : ψs: [−^π₂,^π₂] −→ [−1,1]

x 7→ sinx

ψc: [0, π] −→ [−1,1]

x 7→ cosx

ψt: ]−^π₂,^π₂[ −→ R

x 7→ tanx

On note alorsarcsin,arccoset arctanles fonctions réciproques, elles sont continues et : arcsin : [−1,1]−→[−π

2,π

2] % arccos : [−1,1]−→[0, π] & arctan :R−→]−π 2,π

2[ % Remarque 5.4.2 Les fonctionsarcsin etarctansont impaires ∗ Remarque 5.4.3 Attentionarctann’a rien à voir avec ^arcsin_arccos ∗ Exercice: calculer les limitesarctanen±∞

(16)

(17)

Lemme 5.4.5 On a les relations suivantes

∀x∈[−π 2,π

2], arcsin(sinx) =x

∀x∈[0,π

2], arccos(cosx) =x

∀x∈[−1; 1], sin(arcsinx) = cos(arccosx) =x

∀x∈[−1; 1], cos(arcsin(x)) = sin(arccos(x)) =p 1−x²

∀x∈[−π 2,π

2], arctan(tanx) =x

∀x∈R, tan(arctanx) =x

♣ PreuveMontrons la quatrième assertion : Soitx∈[−1,1]

cos²(arcsinx) = 1−sin²(arcsinx) = 1−x² Et on conclut grâce au fait quecos(arcsinx)≥0 cararcsinx∈[−^π₂,^π₂]

De même : sin²(arccosx) = 1−cos²(arccosx) = 1−x²

etsin(arccosx)≥0 cararccosx∈[0, π] •

Proposition 5.4.6 La Fonctions argument sinus hyperbolique est dérivable surRet

∀x∈]−1,1[, (arcsin)⁰(x) = 1

√1−x²

la fonction argument cosinus hyperbolique est dérivable sur ]1,+∞[et

∀x∈]−1,1[, (arccos)⁰(x) =− 1

√1−x²

(18)

la fonction argument tangente hyperbolique est dérivable sur ]−1,1[et

∀x∈R, (arctan)⁰(x) = 1 1 +x²

♣ PreuvePar le théorème de la bijection (version dérivable), puisque

∀x∈]−π 2,π

2[, (ψs)⁰(x) = cosx6= 0

∀x∈]0, π[, (ψc)⁰(x) =−sinx6= 0

∀x∈]−π 2,π

2[, (ψt)⁰(x) = 1 cos²x 6= 0 On en déduit

∀y∈]−1,1[, (ψ_s⁻¹)⁰(y) = 1

(ψs)⁰(ψ⁻¹s (y)) = 1 cos(arcsin(y))

∀y∈]−1,1[, (ψ_c⁻¹)⁰(y) = 1

(ψs)⁰(φ⁻¹s (y))=− 1 sin(arccos(y))

∀y∈R, (ψ⁻¹_t )⁰(y) = 1

(ψt)⁰(ψ⁻¹_t (y)) = 1

1 + tan²(arctan(y))

• Remarque 5.4.4 Le courbes représentatives des fonctionsarcsin etarccosadmettent une tangente ver-

ticale en1 et−1(dans un r.o.n.d.) ∗

5.5 Bilan

On retiendra

f Df Parité Période Monotonie

x² R paire X strict%surR+

√· R+ X X strict%surR+

sin R impaire 2π strict%sur[−^π₂,^π₂] cos R paire 2π strict &sur[0, , π]

tan x6=^π₂[π] impaire π strict%sur]−^π₂,^π₂[

sinh R impaire X strict%surR

cosh R paire X strict%surR+

tanh R impaire X strict%surR

exp R X X strict%surR

ln R^∗₊ X X strict%surR^∗₊

Ainsi, on appellera fonction usuelle toute fonction construite par opérations algébriques, ou composition à partir des fonctions ci-dessus.

5.6 Fonction exponentielle complexe

Définition 5.6.1 On définit par extension du cas réel les fonctions à valeurs complexes f :Df−→C.

On dira que quef est continue (resp. dérivable) en un pointx₀ lorsqueRe(f)etIm(f)le sont.

Dans le cas dérivable on pose

f⁰ = (Ref)⁰+i(Imf)⁰

♠

(19)

5.6. FONCTION EXPONENTIELLE COMPLEXE 19

Proposition 5.6.1 Soitϕ: t 7→C une fonction continue à valeurs complexes. Alors la fonction expo- nentielle complexet7→exp(ϕ(t))est continue.

Si de plusϕest dérivable, on a d

dt(exp(ϕ(t))) =ϕ⁰(t) exp(ϕ(t))

♣ PreuvePosonsϕ_R=Re(ϕ)etϕ_I =Im(ϕ)il s’agit de deux fonctions réelles. Puisque

Re(exp(ϕ(t))) =e^ϕ^R^(t)cosϕI(t) et Im(exp(ϕ(t))) =e^ϕ^R^(t)sinϕI(t) la continuité et la dérivabilité s’en déduisent immédiatement.

Plus particuliérment puisque

d dt

³

e^ϕ^R^(t)cosϕ_I(t)´

= (ϕ⁰_R(t) cosϕ_I(t)−ϕ⁰_I(t) sinϕ_I(t))e^ϕ^R^(t) d

dt

³

e^ϕ^R^(t)sinϕI(t)

´

= (ϕ⁰_R(t) sinϕI(t) +ϕ⁰_I(t) cosϕI(t))e^ϕ^R^(t) On en déduit que

d

dt(exp(ϕ(t))) = [(ϕ⁰_R(t) cosϕ_I(t)−ϕ⁰_I(t) sinϕ_I(t)) +i((ϕ⁰_R(t) sinϕ_I(t) +ϕ⁰_I(t) cosϕ_I(t))]e^ϕ^R^(t)

= [ϕ⁰_R(t)eîϕÎ^(t)+iϕ⁰_I(t)eîϕÎ^(t)]e^ϕ^R^(t)=ϕ⁰(t)eîϕÎ^(t)e^ϕ^R^(t)

• Remarque 5.6.1 On a en particulier pour touta∈C

∀t∈R, d

dt(exp(at)) =aexp(at)

∗