Fonctions Exponentielles et Puissances en Terminale D

Terminale D

Par

OUAFEU TOKAM GUY PAULIN Sous l’encadrement du

Dr Fidele CIAKE CIAKE : Chargé de cours ; ENS de Yaoundé.

de

M. TCHOUTIO Moïse : Inspecteur Pédagogique National de Mathématiques et de

M. MEGAMTCHE Luc Calvin : Professeur des Lycées d’Enseignement Général.

Juillet 2014

Introduction générale 1

0.1 Activité introductive . . . 6

0.2 Fonction Exponentielle : . . . 7

0.2.1 Définition : . . . 7

0.2.2 Propriétés algébriques : . . . 8

0.2.3 Représentation graphique : . . . 9

0.2.4 Exercices d’application : . . . 9

0.2.5 Dérivées : . . . 11

0.2.6 Primitive . . . 12

0.2.7 Limites : . . . 12

0.2.8 Puissance d’un réel positif : a^α, a >0: . . . 17

0.2.9 Fonction exponentielle de basea: . . . 18

0.3 Fonction puissance : . . . 22

0.3.1 Définition et propriétés : . . . 22

0.3.2 Étude de la fonction x7→x^α: . . . 22

0.4 Comparaison des croissances des fonctions logarithme népérienne, exponen- tielle et puissance : . . . 24

0.4.1 Logarithme et puissance : . . . 25

0.4.2 Exponentielle et puissance : . . . 25

0.4.3 Exponentielle et logarithme . . . 25

0.5 Exercices dans les domaines d’utilisation . . . 26

0.6 Exercices d’application : . . . 31

0.7 Devoir surveillé : . . . 36

0.8 Devoir de maison : . . . 38

Conclusion 42

Bibliographie 42

La nécessité de rendre facile l’enseignement des Mathématiques, de mettre à la disposi- tion des enseignants et des élèves de l’Afrique Centrale des cours numériques de Mathématiques de bonne qualité, l’acquisition par les élèves des bases d’une formation solide en Mathématiques permettant de mieux aborder l’enseignement supérieur et d’analyser une situation de vie, sont les objectifs majeurs du projet Prenum-AC (Production de Ressources Numériques de Mathé- matiques en Afrique Centrale). C’est dans le cadre de ce projet que nous présenterons un cours sur les fonctions exponentielles et puissance en Terminale D.

Les fonctions exponentielles et puissances sont des notions étudiées dans les classes de Ter- minales. L’enseignement de ces deux fonctions a pour objectif de faciliter la résolution des équations de la formea^x+b= 0, la détermination des nombres de la formea^pq. Pour l’atteinte de cet objectif, on peut définir la fonction exponentielle dans les classes de Terminale, comme :

1. La solution du système différentiel :

( Y⁰ = Y Y(0) = 1

2. La bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Au Cameroun, dans les classes de Terminale D, les enseignants utilisent le logarithme népé- rien pour transmettre cette notion. C’est dans ce sillage que nous introduirons la fonction expo- nentielle dans le cours qui suivra tout en proposant nos motivations. Au delà de cette approche axiomatique, nous constatons que les élèves de Terminale D ont des aptitudes théoriques plus ou moins moyennes au sujet des fonctions exponentielles et puissances, mais seulement très peu d’entre eux et certains enseignants ignorent concrètement à quoi elles peuvent servir. Il est donc également question à la suite du cours de proposer des exercices concernants des domaines d’application. .

EXPONENTIELLES ET PUISSANCES EN TERMINALE D ^♣

Historique :

Dans [6], il ressort que : «La naissance de la fonction exponentielle est le fruit d’un long mu- rissement qui n’aboutit qu’à la fin du 17 i`eme si`ecle. L’idée de combler les trous entre plusieurs puissances d’un même nombre est très ancienne. Ainsi trouve t-on dans les mathématiques ba- byloniennes un problème d’intérêts où il est question du temps pour doubler un capital placé à 20% conduisant à une interpolation linéaire pour fournir un nombre d’années égal à ³⁴⁷₆₀.

Il manque cependant une notation pour permettre le développement d’exposant entiers, né- gatifs et même fractionnaire. La notation d’une puissance entière sous forme d’un exposant ne se développe réellement qu’après sa présentation par René Descartes en 1637 dans sa géométrie et est rapidement utilisée par des mathématiciens comme Huygens, Mersenne. Chez Descartes cependant, l’exposant est un nombre entier et pas une lettre, il est comme un indice indiquant combien de fois la quantité (nombre ou variable) a été multipliée par elle même. Chez Wal- lis en 1657, on voit apparaitre des exposants littéraux entiers. On trouve également chez lui, dans son Arithmétique Infinitorum de 1656, une étude algébrique et géométrique des fonctions puissance rationnelle. Mais l’apport décisif dans ce domaine se situe dans deux lettres (Epistola Prior et Epistola Posterior) de 1676 que Newton envoie à Leibniz par l’intermédiaire d’Henry Oldenburg. C’est la première apparition en exposant d’une expression littérale fractionnaire, de sa signification et du développement du binôme correspondant ; suivie dans la seconde lettre, de la première apparition d’une expression contenant un exposant irrationnel.

Cependant Newton n’en donne aucune définition ni calcul approché. Leibniz s’empare de ce concept et présente pour la première fois en 1678 un exposant variable «gradus indefinitus»

dans une expressionx^y qui devient pour lui le premier modèle d’expression transcendante. Ce- pendant, il n’en explique pas la signification. En 1679, il confie à Huygens qu’il a encore du

mal à exploiter des équations de formex^x−x= 24.

Au cours de la seconde moitié du 17 ième siècle la notationa^pq se généralise. Les exposants commencent à être perçus comme des logarithmes. Vue de l’esprit en 1679, la notion prend peu à peu corps jusqu’à se voir qualifiée d’exponentielle. Leibnitz confie à Huygens que de telles expressions ne sont plus obscures. Il les relie explicitement aux logarithmes expliquant queln^1+x_1−x =y ⇔ ^1+x_1−x =b^y ou b` représente une grandeur constante dont le logarithme vaut 1.

C’est la première apparition de la base des logarithmes naturels qui sera noté par Euler «e».

En 1694, Jean Bernoulli et Leibnitz étudiaient la courbe d’équationy = x^x en déterminant les tangentes. En 1697, Jean Bernoulli étudie la fonction exponentielle en tant que telle dans son Principia calculi exponentialium seu percurrentium. Les fonctions exponentielles font alors leur entrée officielle dans le corps mathématique.

Les deux autres avancées dans ce domaine consistent à mettre en exposant un nombre com- plexe, puis une matrice. La première démarche est entreprise par Euler des 1740 et est finalisée dans son texte fondateur de 1747, Introdctio in analysin infitorum. La seconde est l’œuvre d’Ed- mond Laguerre en 1867».

Pré-requis :

Pour aborder aisément ce cours, l’apprenant doit impérativement maitriser : 1. La définition de la notion de primitive.

2. La notion de monotonie d’une fonction.

3. La définition de la notion de bijection et les propriétés des fonctions bijectives.

4. Les différentes formes indéterminées et les règles de calcul des limites du produit, du quotient, de la somme et de la composée de deux fonctions.

5. L’étude et les propriétés de la fonction logarithme népérien.

Objectifs pédagogiques spécifiques :

A la fin de ce cours, l’apprenant devra être capable de : 1. Définir les fonctions exponentielles et puissances.

2. Maitriser les propriétés algébriques des fonctions exponentielles et puissances, puis les utiliser pour les calculs numériques.

3. Résoudre des équations et inéquations contenant les fonctions exponentielles et puis- sances.

4. Étudier et représenter les fonctions du type : ln◦f, exp◦f, f^a ou` f est une fonction réelle etf >0.

5. Étudier les croissances comparées des fonctions x7→lnx, x7→x^α

(α ∈ R) et x 7→ e^x puis s’en servir pour lever des indéterminations dans le calcul des limites.

Relations avec d’autres parties du programme :

Les fonctions exponentielles et puissances interviennent dans les contextes suivants :

•La résolution des équations différentielles linéaires du premier et second ordre à coefficients constants.

•La définitions de certaines suites numériques.

•Le calcul de l’intégrale des fonctions les contenants.

Utilisations :

Nous pouvons citer quelques domaines :

• En Thermodynamique pour la détermination de la température d’un corps en fonction du

temps par la méthode de Newton.

•En Biologie animale pour la détermination de la surface de la peau d’un animal.

•En Biologie animale pour la détermination de la taille de la population des rongeurs.

•En Agronomie pour la prévision de la croissance d’une racine.

Motivations :

La fonction exponentielle peut être introduite selon plusieurs approches. Notamment 1. Comme la bijection réciproque de la fonction logarithme népérienne.

2. Comme solution de l’équation différentielle y⁰ =y vérifiant la conditionf(0) = 1.

3. Comme la fonction x 7−→ lim

n→+∞(1 + x

n)ⁿ (l’existence de cette limite mobilisant des notions hors programme en Terminale D, on l’admettra).

La compréhension des approches 2 et 3 nécessite des pré-requis d’une part sur la notion de suites de fonctions adjacentes , notamment celles définies par u_n(x) = (1 +^x_n)ⁿ et v_n(x) = (1 − ^x_n)⁻ⁿ, d’autre part sur la notion d’approximation affine ; qui ne sont pas au programme de mathématiques en terminale D.

A cause de la complexité de compréhension des approches 2 et 3 pour les apprenants de la terminale D et en conformiter avec le programme officiel de mathématiques, nous présenterons en priorité dans ce cours la fonction exponentielle suivant l’approche 1. Toutefois, nous ferons allusion à l’approche 2 en exercice, à la fin du cours.

Schéma pédagogique de la ressource

1. Activités d’approches

Elles introduisent des notions nouvelles et ressortent l’objectif générale de la notion à enseigner ainsi que les méthodes de démonstration. En général leur conclusion seront mises en évidence.

2. Définitions

Bien structurées elles seront écrites dans un langage très accessible à tous.

3. Propriétés et Théorèmes

Ils énonceront tous les résultats et seront illustrés d’exemples et complétés par des re- marques et commentaires.

4. Exercices d’application

Chacun de ces exercices porte sur un savoir faire . La solution proposée fait ressortir clai- rement le point méthode et explique aussi la démarche suivie pour trouver une solution.

0.1 Activité introductive

• Objectif : Découvrir quelques propriétés de la fonction exponentielle à partir de sa repré- sentation graphique.

• Modalité : Travail à faire par les élèves individuellement en classe pendant 20 minutes et correction guidée par l’enseignant en 10 minutes.

Énoncé :Le plan est muni d’un repère(o,~i,~j)orthonormal.

1. Graphiques :

a) Tracer la représentation graphique (C) de la fonction logarithme népérien dans (o,~i,~j).

b) Tracer la droite(D)d’équationy =x.

c) Construire l’image (L) de (C) par la symétrie d’axe (D). (L) est la représentation graphique d’une fonction qu’on appelle fonction exponentielle notéeexp.

2. Interprétation :

a) Conjecturer graphiquement le sens de variation deexp.

b) Reproduire et compléter, à l’aide d’une calculatrice scientifique le tableau de valeurs ci dessous. Consulter la notice de votre calculatrice ou exécuter la séquence suivante pour une calculatrice scientifique non programmable :

x

2^nd e^x = exp(x) = ...

x

2^nd e^x ln = lnexp(x) =...

x 0 1 √

2 3 2 2,7 1,5 -1,5 -2,3 -6,1 -7 -2 expx

ln(expx) exp(lnx)

c) Conjecturer les propriétés de la fonction exp en complétant :

∀x.... ln(expx) =.... et ∀x.... exp(lnx) =....

d) Placer dans le repère, les points M et N de coordonnéesM(a,lna)etN(lna, a)pour a= 1eta=√

2.

e) Constater queM ∈(C)etN ∈(L)puis interpréter graphiquement les deux résultats précédents.

f) Déduire une définition de la fonction exponentielle notée exp.

0.2 Fonction Exponentielle :

0.2.1 Définition :

La fonction exponentielle, notéeexp définie deRvers]0; +∞[est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien définie de]0,+∞[versR.

Conséquences immédiates:

• Pour tout réelx, ln(exp(x)) = x.

• Pour tout réelxde]0; +∞[, exp(lnx) = x.

• Pour tout réelx, exp(x)>0.

• Pour tout réelxet pour tout réel strictement positify, y=exp(x)⇔x= lny.

Cas particuliers: exp(0) = 1carln 1 = 0.

exp(1) =ecarlne= 1.

Remarque 1 : exp(x) =e^x, ∀x∈R. Remarque 2 : e= 2,718281828...

Activité 0.2

• Objectif :Méthode Montrer que la fonction exponentielle est égale à sa dérivée.

• Modalité :A faire individuellement par les élèves en5minutes sur la surveillance de l’en- seignant.

Énoncé Commentaires

Soitf la fonction définie par f(x) = e^x, pour tout réelx.

(i) Soit x ∈ R, exprimer x en fonction de f(x).

(ii) Dériver l’expression obtenue ci-dessus par rapport àx.

(iii) Déduire quef⁰(x) = f(x), x∈R.

Cette activité traduit que si g est la fonc- tion définie sur R^∗+par g(x) = lnx, alors (g⁻¹(x))⁰ = _(g0◦g⁻¹¹ )(x) C’est-à- dire (e^x)⁰ =e^x ∀x∈R.

Solution :

(i) Soitx∈R, f(x) = e^x ⇔x= ln(f(x)).

(ii) (x)⁰ = (ln(f(x)))⁰ ⇒1 = ^(f(x))_f(x)⁰. (iii) 1 = ^f_f(x)^0(x) ⇔f⁰(x) =f(x).

0.2.2 Propriétés algébriques :

Activité 0.3

• Objectif :Méthode Montrer les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.

• Modalité :A faire individuellement par les élèves en10minutes.

Énoncé : a et b sont deux nombres réels ; notons A et B leurs images respectives par la fonction exp, soite^a=A et e^b =B.

1. On rappelle quelnA+ lnB = lnAB.

a) Montrer quea+b = lnAB.

b) En déduire quee^a+b =e^a×e^b. (1)

2. a) En prenanta =−bdans l’égalité (1), exprimere^−b en fonction dee^b. b) En déduire le réelxtel quee^x= ^e_e^ab.

c) En prenanta = bdans l’égalité (1), exprimere^2aen fonction dee^a. Généraliser le résultat àe^na pournentier relatif, puis àe^rapourrnombre rationnel.

Solution

1. a) On ae^a=A⇔a= lnA et e^b =B ⇔b= lnB.

D’oùa+b = lnA+ lnB = lnAB.

1. b)a+b = lnAB ⇔e^a+b =AB=e^a×e^b.

2. a)e^−b+b =e^−b×e^b ⇔ e^−b×e^b = 1 ⇔ e^−b = _e¹b. 2. b)e^x = ^e_e^ab =e^a×e^−b =e^a+(−b)=e^a−b.

D’où e^x=e^a−b ⇔ lne^x= lne^a−b ⇔ x=a−b.Donc e^a−b = ^e_e^ab. 2. c)e^a+a =e^a×e^a ⇔ e^2a= (e^a)² (2).

Par la suite pourn∈N, on a :ln(e^na) =na=a+...+a

| {z }

nf ois

= ln(e^a) +...+ln(e^a)

| {z }

nf ois

.

D’où ln(e^na) = ln(e^a×...×e^a

| {z }

nf ois

) = ln((e^a)ⁿ)(Par application successive de (1) et (2)).

Donc e^na = (e^a)ⁿ ∀n∈N.

Pourm∈Z⁻, e^ma =e^−m(−a) = (e^−a)^−m = _(e−a¹)^m = ¹

(_ea¹ )^m = ¹1

(ea)m = (e^a)^m. Pourr∈Q, on poser = ^α_β avecα∈Z,β ∈Z^∗.

D’où e^αβa= √^β

e^αa = p^β

(e^a)^α = (e^a)^αβ (en supposant queβ >0).

D’où e^ra= (e^a)^r.

Propriété 0.1. Pour tous réelsaetb, e^a+b =e^a×e^b.

Conséquence :

•Pour tout réela, e^−a= _e¹a.

•Pour tous réelsaetb, e^a−b = ^e_e^ab.

•Pour tout réelaet pour tout rationnelr, (e^a)^r =e^ra. Exemples :Écrire plus simplement ^eπ

e

√

3. e^{ln 3−ln 7}. e^{−ln 5}. (e^x)³×e^−3x. Solution :

e^π e

√

3 =e^π−

√3. e^{ln 3−ln 7}= ^e_e^{ln 3}ln 7 = ³₇. e^{−ln 5} = _eln 5¹ = ¹₅. (e^x)³×e^−3x =e^3x×e^−3x=e^3x−3x =e⁰ = 1.

0.2.3 Représentation graphique :

Dans un repère orthonormé, les représentations graphiques des fonctions exp etln se dé- duisent l’une de l’autre par symétrie orthogonale d’axe la droite d’équationy =x.

FIGURE1 – Courbe representative de la fonction exponentielle Conséquence :

Il découle de la courbe représentative deexpqu’elle est strictement croissante, continue et donc bijective. Ainsi pour tout réelsxetyon a : e^x =e^y ⇔x=y.

e^x ≤e^y ⇔x≤y.

0.2.4 Exercices d’application :

FRésolution des équations :

Résoudre dansRchacune des équations suivantes :

e^x2+2 =e^3x ; e^2x+1 =−3 ; 2e^2x+2−7e^x+1+ 3 = 0.

Solution :

• e^x2+2 =e^3x ⇔x²+ 2 = 3x⇔x²−3x+ 2 = 0.

Le discriminant de cette équation est∆ = 9−4×2 = 1.

D’où les solutions sontx₁ = 1 et x₂ = 2.

Donc S ={2; 1}.

• e^2x+1 =−3<0 (impossible car la fonction exponentielle est toujours positive).

Donc S=∅.

• 2e^2x+2−7e^x+1+ 3 = 0⇔2e^2(x+1)−7e^x+1+ 3 = 0⇔2(e^x+1)²−7e^x+1+ 3 = 0. (I) Effectuons le changement de variableX =e^x+1, D’où(I)devient2X²−7X+ 3 = 0.

Son discriminant est ∆ = 49−4(2)(3) = 25, d’où les solutions de la dernière équation sont X₁ = ⁷⁺⁵₄ = 3 et X₂ = ⁷⁻⁵₄ = ¹₂.

Cas1 : X = 3 ⇒ e^x+1 = 3.

⇔ x+ 1 = ln 3.

⇔ x=−1 + ln 3.

Cas2 : X = 1

2 ⇒ e^x+1 = 1 2.

⇔ x+ 1 = ln1 2.

⇔ x=−1 + ln1

2 =−1−ln 2.

Donc S ={−1 + ln 3;−1−ln 2}. FRésolution d’inéquations :

Résoudre dansRchacune des inéquations suivantes : e^x+2 <2 , e^5x+2 >−3 , e^2x−5e^x−6≥0.

Solution :

• e^x+2 <2⇔e^x+2 < e^{ln 2} ⇔x+ 2<ln 2⇔x <−2 + ln 2.

Donc S =]− ∞;−2 + ln 2[.

• e^5x+2 > −3 ⇒ e^5x+2 > 0 > −3. Cette inégalité est toujours vrai car la fonction exponen- tielle est toujours positive quelque soit la valeur de x.

Donc S =R.

• Pour la résolution de l’inéquation e^2x −5e^x−6 ≥ 0, Il est nécessaire de poserX = e^x et on obtient alorsX²−5X−6≥0.

Le discriminant du polynôme associée à cette inéquation est

∆ = 25−4(−6) = 25 + 24 = 49.

D’où ses racines sont X₁ = 6 et X₂ =−1.

Donc l’inéquation s’écrit encore (X−6)(X+ 1) ≥0⇔(e^x−6)(e^x+ 1) ≥0.

D’où le tableau de signe suivant :

x −∞ ln 6 +∞

e^x−6 − 0 +

e^x+ 1 + +

e^2x−5e^x−6 − 0 + Donc S = [ln 6; +∞[.

0.2.5 Dérivées :

FDérivée de la fonction x7→e^x :

Théorème 0.1. La fonction exponentielle népérienne est dérivable surRet elle est égale à sa dérivée. C’est-à-dire ∀x∈R, (e^x)⁰ =e^x.

FDérivée de la fonction x7→exp◦u(x) oùuest une fonction dex: Activité 0.4

• Objectif :Méthode Déterminer la dérivée de la fonctionx7→exp◦u(x).

• Modalité :A faire individuellement par les élèves en5minutes sur la surveillance de l’en- seignant.

Énoncé :Soit la fonctionf =exp◦u.

1. Vérifier quef⁰ =u⁰×(exp⁰◦u).

2. Déduire quef⁰ =u⁰×(exp◦u).

Solution: A faire par les élèves.

Théorème 0.2. Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction e^u est dérivable sur I et : (e^u)⁰ =u⁰e^u.

Exemple :La fonctionf définie surRparf(x) =e^x2−x est dérivable surR. On poseu(x) =x²−x, alorsu⁰(x) = 2x−1 et f(x) = e^u(x).

D’où pour tout x deR, f⁰(x) = u⁰(x)e^u(x) = (2x−1)e^x2−x.

0.2.6 Primitive

Activité 0.5

• Objectif :Introductif Déterminer la primitive de la fonctionx7→u⁰(x)e^u(x).

• Modalité :A faire individuellement par les élèves en5minutes sur la surveillance de l’en- seignant.

Énoncé :Soit la fonctionf définie surRparf(x) = xe^x2+1. On pose u(x) =x²+ 1.

1. Écriref(x)sous la forme ku⁰(x)e^u(x) k ∈R.

2. D’après le paragraphe I.2, comment est définie la fonction dont la dérivée estf. 3. En déduire une primitive def.

Solution :

1. Puisqueu⁰(x) = 2x, on a f(x) = ¹₂(2x)e^x2+1 = ¹₂u⁰(x)e^u(x).

2. En interprétant la formule de la dérivée on peut définir une fonctiongpar g(x) = ¹₂e^u(x) = ¹₂e^x2+1, de sorte que sa dérivée soitf.

3. Une primitive def estgdéfinie ci dessus.

Théorème 0.3. Soit une fonction udérivable sur un intervalle I. La fonctionf définie sur I parf(x) =u⁰(x)e^u(x)admet des primitives sur I et ces primitivesF sont définies par F(x) = e^u(x)+k k ∈R.

0.2.7 Limites :

FLimite en+∞de la fonctionx7→e^x :

SoitM un réel strictement positif donné, arbitrairement grand. Nous savons quee^x > M si et seulement si x > lnM. Donc, pour des grandes valeurs dex (Plus précisémentx > lnM) les valeurs dee^xdépassentM.

D’où lim

x→+∞e^x= +∞. Conséquence : lim

x→+∞e^−x = lim

x→+∞

1 e^x = 0.

FLimite en−∞de la fonctionx7→e^x : Activité 0.6

• Objectif :Méthode Déterminer la limite en−∞de la fonctionx7→e^x.

• Modalité :A faire individuellement par les élèves en5minutes sur la surveillance de l’en- seignant.

Soitf etg les fonctions définies surRpar f(x) = _e¹x et g(x) = −x.

1. Vérifier queexp=f ◦g.

2. Calculer lim

x→−∞g(x) et lim

x→+∞f(x).

3. En déduire la limite en−∞deexp.

Solution :

1. Soitx∈R, on a(f ◦g)(x) = f(g(x)) = _e−x¹ =e^x. 2. lim

x→−∞g(x) = +∞ et lim

x→+∞f(x) = 0.

3. D’après la formule de calcul de la limite de la composée de deux fonctions on a :

x→−∞lim (f ◦g)(x) = 0, d’où lim

x→−∞e^x = 0. Conséquence :

La droite d’équationy= 0, à savoir l’axe des abscisses est asymptote horizontale au voisinage de−∞à la courbe représentative de la fonctionexp.

FLimite en−∞de la fonctionx7→xe^x :

On a∀x∈R,xe^x =e^x×lne^x. PosonsX =e^x, or lim

x→−∞e^x = 0 et lim

X→0XlnX = 0.

d’où lim

x→−∞xe^x = 0 .

FLimite en+∞de la fonctionx7→ ^e_x^x : Activité 0.7

• Objectif :Méthode Déterminer la limite en+∞de la fonctionx7→ ^e_x^x.

• Modalité :A faire individuellement par les élèves en5minutes sur la surveillance de l’en- seignant.

1. Calculer si possible

x→+∞lim e^x

x→+∞lim x.

2. Si non, poserX =e^xet montrer que ^e_x^x = _ln^X_X. 3. Calculer lim

X→+∞

X lnX. 4. En déduire que lim

x→+∞

e^x

x = +∞.

FLimite en0de la fonctionx7→ ^ex_x⁻¹ : Activité 0.8

• Objectif :Méthode Déterminer la limite en0de la fonctionx7→ ^ex_x⁻¹.

• Modalité :A faire individuellement par les élèves en5minutes sur la surveillance de l’en- seignant.

Soitgla fonction définie surRparg(x) = e^x. 1. Sachant quegest dérivable surR, calculer lim

x→0

g(x)−g(0)

x .

2. En déduire quelim

x→0

e^x−1 x = 1.

Solution: A faire par les élèves.

Théorème 0.4. (Limites de référence :) (1) lim

x→+∞e^x = +∞ (2) lim

x→−∞e^x = 0 (3) lim

x→+∞

e^x

x = +∞ (4) lim

x→−∞xe^x = 0 (5) lim

x→0

e^x−1 x = 1.

FExemples d’utilisation de transformation d’écriture pour se ramener à une limite de référence :

Calculons les limites suivantes : a) lim

x→+∞(x−e^x), b) lim

x→+∞

e^x

x−1 c) lim

x→−∞(7−5x)e^x, d) lim

x→−∞

e^x−e^−x e^x+e^−x e) lim

x→+∞

e^x−e^−x e^x+e^−x. Solution : a) lim

x→+∞x−e^x = lim

x→+∞x(1− e^x

x) = +∞(−∞) =−∞.

b) lim

x→+∞

e^x

x−1 = lim

x→+∞

e^x

x × x

x−1 = +∞(1) = +∞.

c) lim

x→−∞(7−5x)e^x = lim

x→−∞7e^x−5xe^x = 0−0 = 0.

d) lim

x→+∞

e^x−e^−x

e^x+e^−x = lim

x→+∞

e^x(1−e^−2x)

e^x(1 +e^−2x) = lim

x→+∞

1−e^−2x

1 +e^−2x = 1−0 1 + 0 = 1.

e) lim

x→−∞

e^x−e^−x

e^x+e^−x = lim

x→−∞

e^2x−1 e^2x+ 1. PosonsX =e^2x or lim

x→−∞X = 0et lim

X→0

X−1

X+ 1 =−1, d’où lim

x→−∞

e^x−e^−x

e^x+e^−x =−1.

FExercices d’application :

Exercice 1 :Étudier et représenter graphiquement la fonctiongdéfinie par g(x) = (3−x)e^x.

Solution :

∗Domaine de définition:D_g =R.

∗Limites deg aux bornes de son domaine :

En faisant le produit des limites en+∞des facteurs deg(x)on obtient lim

x→+∞g(x) =−∞.

L’approche précédente nous conduit en−∞à une indétermination du type∞ ×0. Pour lever

cette indétermination on proc`ede la mani`ere suivante :

x→−∞lim g(x) = lim

x→−∞(3e^x−xe^x) = 0−0 = 0.

∗Dérivée et sens de variation :La fonctiong est dérivable comme produit de fonctions déri- vables et on ag⁰(x) = −e^x+ (3−x)e^x = (2−x)e^x.

Remarquant quee^x >0 ∀x∈R, g est décroissante pour2−x≤0et croissante pour2−x≥0 .

On en déduit le tableau de variation suivant

x −∞ 2 +∞

g⁰(x) + 0 −

e² g(x) % &

0 −∞

.

∗Étude des branches infinies : Comme lim

x→+∞g(x) =−∞, on calcule lim

x→+∞

g(x)

x = lim

x→+∞

3−x

x e^x =−∞.

Donc la courbe deg admet en+∞une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

D’autre part, comme lim

x→−∞g(x) = 0, il s’en suit que la courbe deg admet en−∞une asymp- tote horizontal d’équationy= 0.

∗Courbe représentative deg :

FIGURE2 – Courbe representative de la fonctiong

Exercice 2: Étudier et représenter graphiquement la fonction f deR versR définie par : f(x) = ln(x+ 1 +e^−x).

Solution :

∗Domaine de définition :

Soitxun nombre réel, x∈D_f ⇐⇒x+ 1 +e^−x >0.

Or nous ne savons pas résoudre algébriquement l’inéquation(I) :x+ 1 +e^−x >0, plutôt étu-

dions le sens de variation de la fonctionudeRversRparu(x) =x+ 1 +e^−x, uest dérivable surRet∀x∈R, u⁰(x) = 1−e^−x. Le signe de1−e^−xest donné par la résolution de l’inéquation 1−e^−x ≥0. Ce qui équivaut àe^−x ≤1⇔ −x≤0⇔x≥0.

On en déduit le tableau de variation

x −∞ 0 +∞

u⁰(x) − 0 +

u(x) & % 2

.

Le tableau de variation deumontre que∀x∈R,u(x)>0. Par conséquentD_f =R.

∗Décomposition def :

La fonctionf est la composée deusuivie deln: f = ln◦u.

∗Limites def :

x→+∞lim u(x) = +∞ et lim

X→+∞lnX = +∞; d’ou` lim

x→+∞f(x) = +∞.

Pour le calcul de la limite en−∞ de u, la somme des limites donne la forme indéterminée +∞ − ∞. Ramenons nous à une limite de référence par une transformation d’écriture.

On au(x) =x+ 1 + _e¹x = ^xex+e_ex^x+1, d’où

ln(u(x)) = ln(xe^x+e^x+ 1)−lne^x =−x+ ln(xe^x+e^x+ 1). (2) Or lim

x→−∞(xe^x+e^x+ 1) = 1. Donc lim

x→−∞f(x) = +∞.

∗Dérivée et tableau de variation :

uétant une fonction strictement positive et dérivable surR, la fonctionf égale àln◦uest déri- vable surRet∀x∈R,f⁰(x) = ^u_u(x)^0(x),f⁰est donc du signe deu⁰.

On en déduit le tableau de variation

x −∞ 0 +∞

f⁰(x) − 0 +

+∞ +∞

f(x) & % ln 2

∗Étude de la branche infinie en−∞: L’écriture (2) montre que lim

x→−∞[f(x) + x] = 0, d’où la courbe C_f de f admet en −∞ une asymptote oblique, la droite(D)d’équationy =−x.

∗Étude de la branche infinie en+∞:

x→+∞lim f(x)

x = lim

x→+∞

ln(x(1 + ¹_x +_xe¹x))

x = lim

x→+∞

lnx x + 1

x ×ln(1 + 1 x + 1

xe^x).

Or lim

x→+∞(1 + 1 x + 1

xe^x) = 1, lim

x→+∞

lnx

x = 0, lim

x→+∞

1 x = 0.

D’ou` lim

x→+∞

f(x)

x = 0. Donc la courbeC_f def admet en +∞ une branche parabolique de direction(OI).

∗Position relative deC_f et(D):

Soitx∈R, (f(x)−(−x))≥0⇔ln(xe^x+e^x+ 1) ≥0⇔(x+ 1)e^x+ 1 ≥1.

Ce qui équivaut à(x+ 1)e^x ≥0⇔x+ 1≥0⇔x≥ −1.

Par conséquent,C_f est au dessus de(D)pourx >−1, etC_f est en dessous de(D)pourx <−1.

∗Courbe représentative def :

FIGURE3 – Courbe representative de la fonctionf

0.2.8 Puissance d’un réel positif : a

, a > 0 :

Définition 0.1. Pour tout réela >0et pour tout réelα, nous savons quelna^α =αlna. Nous en déduisons quea^α=e^αlna.

Ce qui nous conduit au théor`eme suivant :

Théorème 0.5. Pour tout réela >0et pour tout réelα, on aa^α =e^αlnaet on lit «aexposant α».

Exemples :∀x∈R,2^x =e^{xln 2} et ∀x >0, x^−0.7 =e^{−0.7 lnx}. Théorème 0.6. Pour tous réelsxety, on a :

a^x+y =a^x×a^y , (a^x)^y =a^xy , (ab)^x =a^x×b^x. a^−x = _a¹x , a⁰ = 1 , a¹ =a.

FUtilisation dans la résolution des équations et inéquations dansR :

• L’équation3^x = 4 est équivalente àe^{xln 3} = 4. D’où e^{xln 3} = e^{ln 4}; la fonctionexpétant bijective,xln 3 = ln 4. Donc cette équation admet pour unique solutionx= ^{ln 4}_{ln 3}.

• Résolvons dansRl’équation suivante :(E) 3×49^x+ 5×7^x−2 = 0.

Nous pouvons nous ramener à la résolution d’une équation du second degré à l’aide d’une inconnue auxiliaire. L’ensemble de validité de(E)étantR, l’équation(E)peut s’écrire (E) : 3×(7^x)²+ 5×7^x−2 = 0; en posant l’inconnue auxiliaireX = 7^x,(E)devient (E⁰) : 3X²+ 5X−2 = 0. La résolution de(E⁰)donneX =−2 ou X = ¹₃. Deux cas se posent :

(1) 7^x = −2 ⇔ e^{xln 7} = −2 <

0. Cette équation est impossible, d’où elle n’a pas de solution.

(2) Aussi 7^x = 1

3 ⇔ e^{xln 7} =e^ln13

⇔ xln 7 = ln1 3

⇔ x=−ln 3 ln 7. S ={−^{ln 3}_{ln 7}}

• L’inéquation0,8^x < 2est équivalente à e^{xln 0,8} < 2 = e^{ln 2}. La fonctionexp étant stric- tement croissante sur ]0,+∞[ on en déduit que xln 0,8 < ln 2. Or ln 0,8 < 0, d’où x > _{ln 0,8}^{ln 2} S =]_{ln 0,8}^{ln 2} ; +∞[.

0.2.9 Fonction exponentielle de base a :

Définition 0.2. Pour tout réelastrictement positif et différent de 1, la fonction exp_a:R −→ R

x 7−→ a^x =e^xlna est appelée fonction exponentielle de basea.

Remarque :Nous supposerons dans la suite quea >0eta6= 1, car sia= 1alorsexp₁ est la fonction constantex7−→1.

FÉtude de la fonction x7−→a^x:

• Domaine de définition :exp_a(x)existe pour tout réelx. Donc D_expa =R.

• Limites aux bornes du domaine de définition :

Sig_adésigne la fonction définie surRparg_a(x) = xlna, alors on peut écrire

exp_a = exp◦g_a. En appliquant le théorème sur le calcul des limites des fonctions com- posées vue dans le chapitre «Limites et Continuité» on établit les résultats suivants en fonction dea.

a >1 0< a <1

Limite en−∞

Puisque lna > 0, il s’en suit que

x→−∞lim xlna=−∞et comme lim

x→−∞e^x = 0, on a lim

x→−∞exp_a(x) = 0.

Puisque lna < 0, il s’en suit que

x→−∞lim xlna = +∞ et comme lim

x→+∞e^x = +∞, on a lim

x→−∞exp_a(x) = +∞.

Limite en+∞

Puisque lna > 0, il s’en suit que

x→+∞lim xlna = +∞ et comme lim

x→+∞e^x = +∞, on a lim

x→+∞exp_a(x) = +∞.

Puisque lna < 0, il s’en suit que

x→+∞lim xlna =−∞et comme lim

x→−∞e^x = 0, on a lim

x→+∞exp_a(x) = 0.

•Comportement asymptotique :

a >1 0< a <1

Puisque lim

x→−∞exp_a(x) = 0, alors exp_a admet en −∞ une asymptote horizontale d’équationy= 0(axe des abscisses).

Puisque lim

x→−∞exp_a(x) = +∞, on cal- cule lim

x→−∞

exp_a(x)

x = lim

x→−∞

e^xlna

x =

x→−∞lim e^xlna

xlnalna = −∞ d’oùexp_a admet en−∞une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

Puisque lim

x→+∞exp_a(x) = +∞, on cal- cule lim

x→+∞

exp_a(x)

x = lim

x→+∞

e^xlna

x =

x→+∞lim e^xlna

xlnalna = +∞ car lna > 0 et

X→+∞lim e^X

X = +∞ avec X = xlna, d’où exp_aadmet en+∞une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

Puisque lim

x→+∞exp_a(x) = 0, alors exp_a admet en +∞ une asymptote horizontale d’équationy = 0(axe des abscisses).

•Dérivée et sens de variation :

Pour tout réelx, on a(exp_a(x))⁰ = (xlna)⁰e^xlna =e^xlnalna

a >1 0< a <1

puisque lna > 0 et e^xlna > 0, on a (expa(x))⁰ > 0. D’où expa est strictement croissante surR.

Puisque lna < 0 et e^xlna > 0, on a (expa(x))⁰ < 0, d’où expa est strictement décroissante surR.

•Tableau de variation :

a >1 0< a <1

x −∞ +∞

(exp_a)⁰(x) +

+∞

exp_a(x) %

0

x −∞ +∞

(exp_a)⁰(x) − +∞

exp_a(x) &

0

•Courbes représentatives :

FIGURE 4 – Courbe representative des fonctions exponentielles de basea FExercice d’application :

Étudier et représenter la fonctionf deRversRdéfinie parf(x) =x3^−x. Solution :

∗Domaine de définition :

On af(x) =x3^−x= ₃^xx, puisque∀x∈R,3^x >0. D’où D_f =R.

∗Limites :

x→−∞lim f(x) = lim

x→−∞xe^{−xln 3} = (−∞)(+∞) =−∞.

x→+∞lim f(x) = lim

x→+∞

1

ln 3 × xln 3

e^{xln 3}. PosonsX =xln 3, d’où _e^xx^{ln 3}ln 3 = _e^XX = _eX¹

X

.

Comme lim

X→+∞

e^X

X = +∞, alors lim

x→+∞f(x) = 0.

∗Dérivée et tableau de variation :

f est dérivable comme produit de fonctions dérivables surR. On a,∀x∈R, f⁰(x) = xe^{−xln 30}

=e^{−xln 3}−xe^{−xln 3}ln 3 = (1−xln 3)e^{−xln 3}. Or,1−xln 3 >0⇔x < _{ln 3}¹

On en déduit le tableau de variation suivant :

x −∞ _{ln 3}¹ +∞

f⁰(x) + 0 −

1 ln 3

f(x) % &

−∞ 0

∗Étude des branches infinies et tangentes

La courbe de f admet au point O une tangente de coefficient directeur 1, c’est la droite (4) d’équationy =x, et elle admet en+∞une asymptote horizontale qui est la droite (OI).

D’autre part lim

x→−∞

f(x)

x = lim

x→−∞e^{−xln 3} = +∞.

D’ou` la courbe def admet en−∞une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

∗Courbe représentative :

FIGURE5 – Courbe representative de la fonctionf

0.3 Fonction puissance :

0.3.1 Définition et propriétés :

Définition 0.3. αétant un nombre réel différent de0, on appelle fonction puissance d’exposant réelαl’applicationf_α :R^∗₊ −→Rdéfinie parf_α(x) = x^α.

Remarques :

R₁: ln(x^α) =αlnx⇔e^ln(xα) =e^αlnx ⇔x^α =e^αlnx. R₂: La fonction puissance 1 est la fonction identique.

R₃: Pour toutx >0, x^α >0.

Exemple :x

√2 =e

√2 lnx.

Propriété 0.2. Pour tout réel strictement positifx, pour tous réelsαetβ, on a x^α×x^β =x^α+β; ^x_x^αβ =x^α−β; (x^α)^β =x^α×β.

0.3.2 Étude de la fonction x 7→ x

:

On posef(x) =e^αlnx.

•Domaine de définition : Df =]0; +∞[.

•Limites :

lim

x→0⁺f(x) =











0 si α > 0 +∞ si α < 0 1 si α = 0

et lim

x→+∞f(x) =











+∞ si α >0 0 si α <0 1 si α = 0

•Dérivée et sens de variation :

f⁰(x) = (x^α)⁰ = (e^αlnx)⁰ = ^α_xe^αlnx. D’où

( f⁰(x)>0 si α >0 f⁰(x)<0 si α <0

Doncf est strictement croissante pourα >0 et f est strictement décroissante pourα <0.

•Tableaux de variation :

α >0 α <0

x 0 +∞

f⁰(x) +

+∞

f(x) %

0

x 0 +∞

f⁰(x) −

+∞

f(x) &

0

•Branches infinies :

∗Pourα >0, on a

x→+∞lim f(x)

x = lim

x→+∞

x^α

x = lim

x→+∞x^α−1 = lim

x→+∞e^{(α−1) lnx} =

( 0 si 0< α <1 +∞ si α > 1

Donc si 0 < α < 1, la courbe def admet en+∞une branche parabolique de direction l’axe des abscisses. Et siα > 1, la courbe def admet en+∞une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

∗Pourα <0, la droite d’équationy= 0est asymptote horizontale en+∞.

•Courbes représentatives :

FIGURE6 – Courbe representative des fonctions puissances

0.4 Comparaison des croissances des fonctions logarithme né- périenne, exponentielle et puissance :

Soit la représentation suivante des fonctions logarithme népérienne, exponentielle et puis- sance d’exposant r (r>0) restreintes sur l’intervalle[0,+∞[.

FIGURE7 – Courbe representative des croissances comparées

Il ressort de ce graphe que les fonctionsx7→ lnx,x 7→e^x etx7→ x^r, r >0sont toutes croissantes sur[o,+∞[.

Poura >0, on a lna < a^r < e^a. D’où le théorème suivant :

Théorème 0.7. La croissance de la fonction exponentielle est plus rapide que celle des fonc- tions puissances d’exposant positif, qui à leur tour ont une croissance plus rapide que celle de la fonction logarithme népérienne.

Le théorème précédent justifie graphiquemment les propriétés suivantes sur les limites.

0.4.1 Logarithme et puissance :

Activité 0.9

• Objectif :Méthode Déterminer lim

x→+∞

lnx x^α , lim

x→0x^αlnx, lim

x→+∞x^αlnx, lim

x→+∞x^αlnx.

• Modalité :A faire individuellement par les élèves en5minutes sur la surveillance de l’en- seignant.

1. Justifier que pour tout réel positifα, ^ln_xα^x = _α^1lnx_xα^α et x^αlnx= _α¹[x^αln(x^α)].

2. En déduire : lim

x→+∞

lnx

x^α ; lim

x→0x^αlnx et lim

x→+∞x^αlnx.

Propriété 0.3. lim

x→0x^αlnx= 0 , lim

x→+∞x^αlnx= +∞ et lim

x→+∞

lnx x^α = 0.

0.4.2 Exponentielle et puissance :

Activité 0.10

• Objectif :Méthode Déterminer lim

x→+∞

e^x x^α, lim

x→−∞x^αe^x.

• Modalité :A faire individuellement par les élèves en5minutes sur la surveillance de l’en- seignant.

1. Justifier que pour tout réel positifα, on a : ln _x^exα

=x(1−α^lnx_x ) et x^αe^x = ⁽⁻¹⁾_e−x^α

(−x)α

. 2. En déduire lim

x→+∞

e^x

x^α , lim

x→−∞x^αe^x.

Propriété 0.4. lim

x→+∞

e^x

x^α = +∞ et lim

x→−∞x^αe^x = 0.

0.4.3 Exponentielle et logarithme

Puisque lim

x→+∞e^xlnx = +∞ et lim

x→0e^xlnx = −∞ s’obtiennent directement sans aucune forme d’indétermination, cela ne fera l’objet d’aucune étude.

Exemple :

x→+∞lim x⁵

3^x = lim

x→+∞x⁵e^{−xln 3} = 0, lim

x→+∞

lnx

x¹² = 0, lim

x→0x³lnx= 0.

0.5 Exercices dans les domaines d’utilisation

Exercice 0.5.1 : Détermination de la température d’un corps en fonction du temps par la méthode de Newton.[4]

Un corps dont la température initialeθ0 est30⁰cest placée dans une ambiance dont la tem- pératureT est constante. La température de ce corps est une fonction du tempsθ :t7−→θ(t).

D’après Newton, la dérivée de θ est proportionnelle à la différence entre la température ambiante et la température du corps. On a donc ^dθ_dt = k[T −θ(t)] `ou k est le coefficient de proportionnalité fixé par la nature, la forme, la taille,...du corps.

On prend k = 0,1 et θ₀ = 30^◦C, la température pour t = 0. Le temps est exprimé en minutes ; les températures en degré celcius.

1. Sachant que ^dθ_dt = θ⁰(t), exprimer la loi ^dθ_dt = k[T −θ(t)] de Newton à l’aide d’une équation liantθetθ⁰ en précisant les conditions initiales.

2. Dans cette section,T la température ambiante est100^◦C.

a)Montrer que θ définie par θ(t) = −70e^−0,1t + 100est la solution de cette équation vérifiantθ(0) = 30.

b) Calculer la limite deθquand t tend vers+∞et interpréter le résultat.

3. Représenter les courbes d’évolution de la température en fonction du temps pour T = 100^◦C, T = 30^◦C et T =−10^◦C.

Solution :

1. Expression de la loi de Newton en équation liantθetθ⁰.

dθ

dt =k[T −θ(t)]⇔θ⁰(t) =kT −kθ(t)⇔θ⁰(t) +kθ(t) = kT.

Donc on obtient l’équation(E)suivante : θ⁰(t) + 0,1θ(t) = 0,1T avecθ(0) = 30^◦C . 2. T = 100^◦C.

a)]Montrons queθest solution.

On a θ⁰(t) = 7e^−0,1t.

D’oùθ⁰(t) + 0,1θ(t) = 7e^−0,1t+ 0,1(−70e^−0,1t+ 100) = 7e^−0,1t−7e^−0,1t+ 10 = 10.

D’autre part, θ(0) =−70 + 100 = 30.

b) lim

t→+∞θ(t) = 100.

Interprétation: A long terme, le corps prendra la température du milieu ambiant.

3. Courbe d’évolution de la température en fonction du temps.

a) Étude deθpourT = 100^◦C.

Domaine : D_θ =R.

Limites : lim

t→0θ(t) = 30 et lim

t→+∞θ(t) = 100.

Dérivée : θ⁰(t) = 7e^−0,1t>0.

Sens de variation : θ est strictement croissante sur son domaine.

Tableau de variation :

t -∞ +∞

θ⁰(t) +

100

θ(t) %

−∞

courbe deθ:

FIGURE8 – Courbe representative de l’évolution de la température d’un corps pourT = 100^◦C b) Étude deθ pourT = 30^◦C.

Dans ce cas,(E)devientθ⁰(t) + 0,1θ(t) = 3.

On constate queθdéfinit parθ(t) = 30est la solution de(E)vérifiantθ(0) = 30.

Tableau de variation

t -∞ +∞

θ(t) 30 −→ 30

courbe deθ

FIGURE9 – Courbe representative de l’évolution de la température d’un corps pourT = 30^◦C c) Étude deθpourT =−10^◦C.

Dans ce cas,(E)devient θ⁰(t) + 0,1θ(t) = −1.

On montre aussi que θ définit par θ(t) = 40e^−0,1t−10est la solution de(E) vérifiant θ(0) = 30.

Nous récapitulons cette étude dans le tableau suivant :

Domaine Dθ =R.

Limites lim

t→−∞θ(t) = +∞ et lim

t→+∞θ(t) = −10.

Dérivée θ⁰(t) =−4e^−0,1t−10<0.

Sens de variation θ est strictement décroissante sur son domaine.

Branches infinies lim

t→−∞

θ(t)

t =−∞, donc, la courbe admet en−∞une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

D’autre part la droite d’équationy=−10est asymp- tote horizontal en+∞.

Tableau de variation

t -∞ +∞

θ⁰(t) - +∞

θ(t) &

-10 courbe deθ

FIGURE10 – Courbe representative de l’évolution de la température pourT =−10^◦C

Exercice 0.5.2 :Détermination de la surface de la peau d’un animal.[4]

Il n’est pas commode de mesurer la surface de la peau d’un animal. Il est souvent beaucoup plus facile de mesurer le poids de cet animal. Kibler , Brody et Worstell(1947) proposent d’évaluer chez le cobaye la surfaceA(en cm²) de la peau connaissant le poidsp(en gramme)de l’animal parA(p) = 9,85p^0,64.

1. Étudier et représenter la fonctionp7−→A(p).

2. Interpréter le résultat.

Solution :

1. Étude de la fonctionp7−→A(p).

Domaine D_A=]0; +∞[.

Limites En remarquant que A(p) = 9,85e^{0,6 lnp}, on a

p→0limA(p) = 0et lim

p→+∞A(p) = +∞.

Branches infinies Puisque lim

p→+∞

A(p)

p = lim

p→+∞9,85p^0.64

p = 0, alors la courbe depadmet une branche parabolique de direc- tion la droite (OI) en+∞.

Dérivé A⁰(p) = ^9,85×0,64_p e^0,64p >0.

Sens de variation DoncAest strictement croissante sur son domaine.

Tableau de variation

t 0 +∞

θ⁰(t) +

+∞

θ(t) %

0 Courbe deθ

FIGURE11 – Courbe representative de l’évolution de la surface de la peau d’un animal

2. Interprétation :Plus le poids de l’animal est grand , plus la surface de sa peau l’est aussi.

Cette évolution est exponentielle.

Exercice 0.5.3 : Taille de la population des rongeurs(Ref :[4])

. On a étudier en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population , au temps t , est notég(t). On définit ainsi une fonction g de l’intervalle [0 ;+∞[

dansR. La variable réelletdésigne le temps, exprimé en années. L’unité choisie pour g(t)est la centaine d’individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pourg une solution, sur l’intervalle [0 ;+∞[ de l’équation(E) ^y_y⁰ = ¹₄.

1. Résoudre l’équation(E).

2. Déterminer l’expression deg(t)sachant qu’à la datet = 0, la population comprend 100 rongeurs, c’est-à-direg(0) = 1.

3. Après combien d’années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?

Solution :

1. En prenant la primitive des membres de(E)on obtientln|y|= ¹₄t+c, oùcest un réel. Il s’en suit que|y(t)|=e^14t+c=ke^14t ou` k =e^c. Donc y(t) =ke^14t aveckréel.

2. Pour tout réelt, on ag(t) =ke^14t. Par suite,g(0) = 1⇔ke⁰ = 1⇔k = 1.

La solution de(E)prenant la valeur 1 en 0 est la fonction g :t 7→e^14t . 3. Soittun réel positif.

g(t)≥3⇔e^14t≥3

⇔ ¹₄t≥ln 3(car la fonction exponentielle est croissante).

⇔t≥4 ln 3.

Or4 ln 3 = 4,3...Donc la première valeur entière detà partir de laquelleg(t) est supérieur ou égal à3est5ans.

0.6 Exercices d’application :

Exercice 0.6.1

• Objectif : Montrer qu’une fonction remplissant les conditions ci-dessous est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérienne.

– Toutes ses valeurs sont positives.

– Elle est égale à sa dérivée.