AIDE Terminale S : Fonction exponentielle Exercice n°1

(1)

AIDE Terminale S : Fonction exponentielle

Exercice n°1

Simplifier chacune des expressions : e

^2x

e

^{– x}

; (e

^x

)

²

e

^{1 – x}

2

; e

^2x

× e

^{– x}

; e

^2x

– e

^x

e

^x

Exercice n°2

Etablir, pour x ∈ Y, les égalités suivantes : a. 1 – e

^x

e

^2x

= e

^{– 2x}

– e

^{– x}

; b. e

^2x

– 1

e

^2x

+ 1 = 1 – e

^{– 2x}

1 + e

^{– 2x}

. Exercice n°3

Vérifier que la fonction f définie sur Y par f (x) = ( e

^x

+ e

^{– x}

)

²

– ( e

^x

– e

^{– x}

)

²

est constante.

Exercice n°4

Résoudre dans Y les équations et inéquations suivantes : e

^{2x – 1}

= e

³

; e

^4x^{– 1}

= 1

e ; e

^x

– e

^{– x}

= 0 ; e

^x

+ e

^{– x}

= 0 ; e

^x

2 + 2x – 3

= 1 ; e

^{2x + 1}

e

^{x – 3}

= e ; e

^{– x}^{+ 5}

> e

^x

; ( e

^x

– 1 ) ( e

^2x

+ 1 ) < 0 ; e

^2x

+ 3e

^x

– 4 = 0 .

Exercice n°5

Justifier, dans chaque cas, que la fonction f est dérivable sur I et déterminer la dérivée f ’ de f sur I.

a. f (x) = e

^x

+ 2x – e

³

I = Y b. f (x) = 2x e

^x

I = Y c. f (x) = x

e

^x

– 1 I = ] 0 ; + ∞ [ d. f (x) = e

^{2x + 1}

– 4 e

x

2

I = Y

1

^er

QCM : Pour chaque question, une seule des 3 réponses est correcte. Dire laquelle sans justifier.

Question Réponse A Réponse B Réponse C

L’ensemble des solutions de

l’équation e

^x

= 0 est … 0 1 ∅ ∅ ∅ ∅

La courbe représentative de la fonction exponentielle a une …

tangente horizontale asymptote verticale asymptote horizontale La limite de e

^–x

lorsque x

tend vers + ∞ est égale à … – ∞ ∞ ∞ ∞ 0 + ∞ ∞ ∞ ∞

f est une fonction définie sur Y par f (x) = e

^{– x}

. Sa fonction dérivée est définie sur Y par …

f ’ (x) = – e

^{– x}

f ’ (x) = e

^{– x}

f ’ (x) = 1 e

^{– x}

2

^ème

QCM : Pour chaque question, indiquer la ( ou les ) bonne(s) réponse(s).

Question Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D

1 – e

^{– x}

– 1

e

^{– x}

+ 1 est égal à … 2

e

^{– x}

+ 1 0 2 e

^{– x}

e

^{– x}

+ 1

2 e

^x

e

^x

+ 1 L’ensemble des solutions de

l’équation e

^2x

+ 1 = 0 est ... – 1

2 0 ∅ ∅ ∅ ∅ 1

2 L’ensemble des solutions de

l’inéquation (e

^x

– 1) (1 – x) > 0 est . ] – ∞ ∞ ∞ ; 1 ] ∞ [ 0 ; 1 ] [ 0 ; + ∞ ∞ ∞ [ ∞ ]–1; 0] ∪ ∪ ∪ [1 ;+∞ ∪ ∞ ∞ [ ∞ f est la fonction définie sur Y par

f (x) = x e

^2x

– 1 . Pour tout réel x, f ’ (x) est égal à …

e

^2x

2 e

^2x

( x + 2 ) e

^2x

( 1 + 2x) e

^2x

g est la fonction définie sur Y par g (x) = e

^x

( x – 1 ) + x

²

. Alors …

g est positive sur

] 0 ; + ∞ ∞ ∞ [ ∞ g est négative sur ] 0 ; 1 [

g est strictement croissante sur

] 0 ; + ∞ ∞ ∞ [ ∞

g admet un minimum en 0 f est une fonction dérivable sur Y

telle que f ’ + 3f = 0 et f (0) = 1.

Alors, pour tout réel x, f (x) est égal à …

exp (3x) exp ( – 3x ) – 3 exp ( – 3x ) – 3 exp ( x )

(2)

CORRECTION AIDE Terminale S : Fonction exponentielle

Exercice n°1

• e^2x e^{– x} = e^{(2x – x)} = e^x

• (e^x)² e ^{1 – x}² = e(2x + 1 – x 2

)

• e^2x× e^{– x} = e^x× e^x × e ^{– x} = e^x× e ^{– x} = e ^{( x – x )} = e⁰ = 1

• e^2x – e^x

e^x = e^x ( e^x – 1) e^x = e^x – 1 Exercice n°2

a. 1 – e^x

e^2x

= e^2x (e^–2x – e ^{– x})

e^2x = e ^{– 2x} – e ^{– x} b. e^2x – 1

e^2x + 1 = e^2x ( 1 – e ^{– 2x} )

e^2x ( 1 + e^{– 2x} ) = 1 – e ^{– 2x} 1 + e ^{– 2x} Exercice n°3

f(x) = ( e^x + e ^{– x} )² – ( e^x – e ^{– x} )²

Pour montrer que f est constante, on va développé l’expression de f(x). Pour développer plus rapidement, on peut remarquer que f(x) est de la forme « a² – b² »

On a donc :

f(x) = (e^x + e ^{– x} + e^x – e ^{– x} ) (e^x + e ^{– x} – (e^x – e ^{– x} )) f(x) = ( 2 e^x ) (e^x + e ^{– x} – e^x + e ^{– x})

f(x) = 2 e^x × 2 e^{– x} = 4 e^{(x – x)} = 4 e⁰ = 4 × 1 = 4 Exercice n°4

e ^{2x – 1} = e ³ ⇔ 2x – 1 = 3 2x = 4 x = 2 S = { 2 } e ^4x^{– 1} = 1

e ⇔ e ^4x^{– 1} = e ^{– 1} 4x – 1 = – 1 4x = 0

x = 0

S = { 0 } e ^x – e ^{– x} = 0 ⇔ e^x = e ^{– x}

x = – x x = 0 S = { 0 } e ^x + e ^{– x} = 0 ⇔ S = ∅

impossible car e^x > 0 pour tout x e ^x

2

+ 2x – 3 = 1 ⇔ e ^x

2

+ 2x – 3 = e⁰ x² + 2x – 3 = 0 ∆ = 4 + 4 × 3 = 16 x1 = – 2 + 4

2 = 1 x2 = – 2 – 4 2 = – 3 S = { – 3 ; 1 }

e ^{2x + 1}

e ^{x – 3} = e ⇔ e (2x + 1 – x + 3)

= e¹ x + 4 = 1 x = – 3 S = { – 3 } e ^{– x}^{+ 5} > e ^x ⇔ – x + 5 > x – 2x > – 5 x < 5

2 S = ] – ∞ ; 5

2 [

( e^x – 1 ) ( e ^2x + 1 ) < 0 ⇔ e^x – 1 < 0 car e ^2x + 1 > 0 pour tout x e^x < 1

e^x < e⁰ x < 0 S = ] – ∞ ; 0 [

e^2x + 3e^x – 4 = 0

⇔

{

^e^X^x²^{= X} + 3X – 4 = 0 On résout X² + 3X – 4 = 0

∆ = 9 + 4×4 = 25 X1 = – 3 + 5

2 = 1 X2 = – 3 – 5 2 = – 8

X1 = e^x X2 = e^x impossible car e^x > 0 pour tout x e^x = 1 = e⁰

x = 0 Exercice n°5

a. f (x) = e^x + 2x – e³ I = Y

f est la somme de fonctions dérivables sur Y donc f est dérivable sur Y.

f’(x) = e^x + 2

b. f (x) = 2x e^x I = Y

f est le produit de fonctions dérivables sur Y donc f est dérivable sur Y.

Rappel : Si f = uv avec u et v dérivables alors f’ = u’v + uv’

f’(x) = 2e^x + 2xe^x = 2e^x (1 + x) c. f (x) = x

e^x – 1 I = ] 0 ; + ∞∞∞∞ [ f définie et dérivable si e^x – 1 ≠ 0 donc si x ≠ 0.

f est donc définie et dérivable sur ] 0 ; + ∞ [.

Rappel : Si f = u/v avec u et v dérivables et v(x) ≠ 0 alors f’ = u’v – uv’

v²

u(x) = x u’(x) = 1

v(x) = e^x – 1 v’(x) = e^x f’(x) = (e^x – 1) – xe^x

(e^x – 1)² = e^x – 1 – xe^x (e^x – 1)²

d. f (x) = e ^{2x + 1} – 4 e x

2 I = YYYY

f est la somme de deux fonctions composées définies et dérivables sur Y.

f’(x) = 2 × e ^{2x + 1} – 4 ×1 2× e

x

2 = 2 ( e ^{2x + 1} – e x 2 )

1

^er

QCM C – C – B – A 2

^ème

QCM

A et D – C – B – D – C et D – B