1 La fonction exponentielle

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Logarithme - Cours

– avril 2021

1 La fonction exponentielle

Relation fonctionnelle

Nommeele nombre d’Eulerequi vaut environe≈2,718 281 828 459.

La fonctionexponentielleest la fonction puissance de basee exp:x7→e^x Cette fonction est définie surR.

Définition

La fonction exponentielle partage les propriétés suivantes avec toutes les fonctions puissances

• Valeur particulières

exp(0) =e⁰= 1 exp(1) =e¹=e

• Relations fonctionnelles Soitxety2 nombres réels

e^x×e^y=e^x+y e^−x= 1 e^x

e^x

e^y =e^x−y (e^x)^y=e^x×y

• Simplification des égalités Soitxety2 nombres réels alors

e^x=e^y ⇔x=y

Propriété

Exemples

• Simplification des expressions

e²×e³

e^e = (e³⁵)³=

• Réduction d’expressions

(1 +e^x)(1−e^x) =

• Factorisation

3e^x+ (2x−1)e^x=

• Équations

e^3x+1=e^2x−3 À faire au crayon à papier :compléter les exemples

1.1 Dérivée

La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi

∀x∈R exp⁰(x) = exp(x) En particulier c’est LA fonction puissance qui vérifief⁰(0) = 1.

Propriété Dérivée de exp

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Exemple de calcul Calcul de la dérivée def(x) = (2x+ 1)e^x À faire au crayon à papier :

Remarque : On peut définir l’exponentielle comme la fonction qui vérifief⁰(x) =f(x)(on appelle ce genre de relation une équation différentielle).

On en déduit, pour toutx∈R,exp⁰(x) = exp(x)etexp(x)>0alors la fonction exponentielle est . . . .

Soitxetydeux nombres réels alors

e^x≤e^y⇔x≤y

Propriété

Résolution d’inéquation Résoudre l’inéquation

e^−3x+2−1≥0

Étude de la fonction

• Elle est continue et dérivable surR

• Elle est strictement positive surR (∀x∈Re^x>0)

x

exp(x) = e^x

−∞ +∞

x→−∞lim e^x=· · · lim

x→+∞e^x=· · · x

y

−5 −4 −3 −2 −1 0 0 1 2 1

2 3 4 5

f(x) =e^x

Propriété

Dérivée de fonctions composées avec l’exponentielle

Soituune fonction dérivable sur un intervalleI.

Alors la fonctionf :x7→e^u(x)est aussi dérivable surIet sa dérivée est f⁰(x) =u⁰(x)×e^u(x)

Propriété

Exemple

Calcul de la dérivée def(x) =e^−0.1x À faire au crayon à papier :

Calcul de la dérivée def(x) = (2x+ 1)e^−0.1x À faire au crayon à papier :