La fonction exponentielle

La fonction exponentielle

Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est l’unique fonctionf, définie et dérivable sur Ret vérifiant f(0) =1et pour tout réelx, f^′(x) =f(x).

Propriétés analytiques

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

y=ln(x) y=^xe

y=x

e e

e⁰=1

e=2.718. . .

• La fonction exponentielle est définie et dérivable surRet

Pour tout réelx,(exp)^′(x) =exp(x).

• La fonction exponentielle est continue et strictement croissante surR.

• Pour tout réelx,e^x>0.

• Limites aux bornes du domaine : lim

x→−∞e^x=0, lim

x→+∞e^x= +∞.

• Théorèmes de croissances comparées : lim

x→+∞

e^x

x = +∞et lim

x→−∞xe^x=0.

• Nombre dérivé en0: lim

x→0

e^x−1 x =1.

Propriétés algébriques

Pour tous réelsxety,e^x+y=e^x×e^y. Pour tous réelsxety,e^x×e^y=e^x+y. Pour tout réelx,e^x≠0 ete^−x= 1

e^x. Pour tout réelx,e^x≠0 et 1 e^x =e^−x. Pour tous réelsxety,e^x−y=e^x

e^y. Pour tous réelsxety, e^x

e^y =e^x−y.

Pour tout réelxet tout entier relatifn,(e^x)ⁿ=e^nx. Pour tout réelxet tout entier relatifn,e^nx= (e^x)ⁿ.

Liens avec le logarithme népérien

Pour tout réelx,ln(e^x) =x. Pour tout réelxstrictement positif,e^ln(x)=x.

Résolution d’équations et d’inéquations

Sia>0, l’équatione^x=aa une solution et une seule. Si a⩽0, l’équation e^x=an’a pas de solution.

Pour tous réelsxet y, (e^x=e^y⇔x=y). Pour tout réelxet tout réel strictement positifa,e^x=a⇔x=ln(a).

La fonction exponentielle est strictement croissante surR. Donc

Pour tous réelsxet y, (e^x<e^y⇔x<y). Pour tout réelxet tout réel strictement positifa,e^x<a⇔x<ln(a).

© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr