1. FONCTION EXPONENTIELLE

(1)

1. FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 1.1 propriétés algébriques Simplifier les expressions suivantes.

a. ^exp

( )

^{− ×}² ^exp

( )

⁴

( ) ( ) ( ) ( )

exp − ×2 exp 4 =exp − +2 4 =exp 2 b. ^exp¹

( )

⁻⁵

( )

^exp

( ( ) )

^exp

^{( )}

exp

1 5 5

5 = − − =

− c.

(

^exp

( )

²

)

³

(

^exp

( )

²

)

³⁼^exp

⁽

^{2 3}^{× =}

⁾

^exp

^{( )}

⁶

d.

(

^e^x ⁺^e⁻^x

) (

²⁻ ^e^x⁻^e⁻^x

)

²

(

^a⁺^b

) (

²⁻ ^a⁻^b

)

² ⁼⁴^ab^{, donc e}

(

^x ⁺^e⁻^x

) (

²⁻ ^e^x⁻^e⁻^x

)

²⁼^{4e e}^x ⁻^x⁼⁴

Compléter les égalités suivantes.

e. ê^x ⁺ê⁻^x ⁼ê^x

(

¹⁺^e⁻²^x

)

f. e 1 1 e

e

x x

x

− +

+ = g.

6 3 2

2

e ^x e ^x

x x

 

= 

 

Exercice 1.2 équations

Résoudre les (in)équations suivantes.

a. ^exp

(

²^x^{− =}¹

)

^e

( )

exp 2x− =1 e¹ ⇔2x− = ⇔ =1 1 x 1. b. e^x²⁺^x =1

( )

2 0 2

e^x ⁺^x =e ⇔x + = ⇔x 0 x x+ = ⇔ =1 0 x 0 ou x= −1. c. e²^x+2e^x − =3 0

Posons X =e avec ^x X >0. e²^x +2e^x − = ⇔3 0 X²+2X − =3 0. Les racines de ce polynôme sont –3 et 1.

Seule la valeur 1 est une possibilité pour X. Donc e^x =1, soit x=0. d. e 3

e 1 0

x x + >

−

e 3 0 et e 1 0 e 1 0 0

e 3

0 ou ou ou

e 1

e 3 0 et e 1 0 e 3 0 impossible

x x x

x x

x x x

 + > − >  − >  x>

+   

> ⇔ ⇔ ⇔

−  + < − <  + < 

.

Exercice 1.3 étude

1) Soit la fonction f1 à étudier sur ℝ₊ définie par f1

( )

x =xe⁻^x². On appelle C1 sa courbe représentative.

a. Montrer que ^f¹^′

( )

^x ⁼^e⁻^x² ⁻²^x²^e⁻^x². En déduire le sens de variation de f1. e ^x2

x ⁻ est vu comme u v× . ^f¹^′

( )

^x ⁼^{u v}^′ ⁺^uv^′^{= ×}^{1 e}⁻^x² ^{+ × −}^x ^{2 e}^x ⁻^x² ^{= −}

(

^{1 2}^x²

)

^e⁻^x²^.

(2)

( )

1 0

f′ x > ssi ² ² 1 1

2 1

2 2

x < ⇔x < ⇔ <x (n’oublions pas que l’étude est à mener sur ℝ₊_).

f1 est donc strictement croissante sur 1 0 ;

2

 

 

 et décroissante sur 1 ; 2

 

 + ∞

 .

b. On appelle ∆ la droite d’équation y=x. Déterminer la position de C1 par rapport à ∆.

( ) (

²

)

1 e ^x 1

f x − =x x ⁻ − . Sur ℝ₊_,_e⁻^x² _<₁_{. Ainsi, C}₁ est en-dessous de ∆.

2) On note f3 la fonction définie par f3

( )

x =x³e⁻^x². On appelle C3 sa courbe représentative.

a. Etudier le sens de variation de f3 sur ℝ₊_.

3 2

e ^x

x ⁻ est vu comme u v× . ^f³^′

( )

^x ⁼^{u v}^′ ⁺^uv^′⁼³^x²^×^e⁻^x² ^{+ × −}^x³ ^{2 e}^x ⁻^x² ⁼^x²

(

^{3 2}⁻ ^x²

)

^e⁻^x² ^.

( )

3 0

f′ x > ssi ² ² 3 3

3 2 0

2 2

x x x

− > ⇔ < ⇔ < (sur ℝ₊_).

f3 est donc strictement croissante sur 3 0 ; 2

 

 

 

et décroissante sur 3 2 ;

 

+ ∞

 

 

. b. Etudier la position relative de C1 et C3.

( ) ( ) (

³

)

²

(

²

)

²

3 1 e ^x 1 e ^x

f x − f x = x −x ⁻ =x x − ⁻ . C1 est au-dessous de C3 si x>1 et au-dessus sinon.

Exercice 1.4 vrai ou faux

Pour tout réel m, on considère l’équation suivante, d’inconnue réelle x :

( )

Em ^: ^e²^x −^2e^x− =m ⁰. a. L’unique valeur de m pour laquelle x = 0 est solution de l’équation

( )

Em est m = 0.

b. Pour toute valeur de m, l’équation

( )

Em admet au moins une solution.

c. Si – 1 < m < 0, l’équation

( )

Em a deux solutions positives.

d. Si m > 0, l’équation

( )

Em a une unique solution.

a. FAUX. Si x = 0 est solution de l’équation, alors e⁰−2e⁰− = ⇔ − − = ⇔ = −m 0 1 2 m 0 m 1.

b.c.d. Remarques : l’équation

( )

Em se traduit en X²−2X − =m 0 avec X =e^x, qui est donc forcément positif. Le discriminant de cette équation du second degré est ^{∆ = +}⁴ ⁴^m⁼^{4 1}

(

⁺^m

)

^.

b. FAUX. Le discriminant est négatif si m < –1.

c. FAUX. Les solutions de X²−2X − =m 0 sont ₁ 2 2 1 ₁

1 1 : 0 1

2

X = − +m = − +m <X < , et

2 1 1 1

X = + + >m . Revenons à x : 0<e^x¹ < ⇔ <1 x₁ 0 et e^x² > ⇔1 x₂ >0.

d. VRAI. m>0⇒X₁= −1 1+ <m 0 et X₂= +1 1+ >m 2. Revenons à x : e^x¹ <0 est impossible et e^x2 >2 est possible et donne lieu à une unique valeur de x2.

Soit f la fonction définie sur ℝ par : ^{f x}

( )

⁼^x^e²^x ⁻¹^.

a. Pour tout x∈ℝ_,^f^′

( ) (

^x ⁼ ^x⁺^{1 e}

)

²^x. b. f est croissante sur 1 2 ;

 

− + ∞

 

 .

c. _x^lim_→+∞^{f x}

( )

^{= +∞}. d. _x^lim_→−∞^{f x}

( )

^{= −∞}^.

e. L’équation ^{f x}

( )

^{= −}¹ admet une et une seule solution.

(3)

a. FAUX. xe²^x est vu comme u v× . ^f^′

( )

^x ⁼^{u v}^′ ⁺^uv^′^{= ×}^{1 e}²^x^{+ ×}^x ^2e²^x ⁼

(

²^x⁺^{1 e}

)

²^x^.

b. VRAI. Sur 1 2 ;

 

− + ∞

 

 , ^f^′

( )

^x ^≥⁰^.

c. VRAI.

d. FAUX. Un théorème de comparaison donne lim e^x

x^→+∞xa = +∞ pour tout réel a.

Par passage au carré : lim e2^x

x^→+∞ xa = +∞. En choisissant a = 1 et en inversant : lim e ²^x 0

x x ⁻

→+∞ = .

Par changement de signe : lim e²^x 0

x x

→−∞ = ; finalement, _x^lim_→−∞ ^{f x}

( )

^{= −}¹^.

2. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Exercice 2.1 propriétés algébriques Simplifier les expressions suivantes.

a. ^ln

( )

^{2 2}

( ) ^{( )} ( ) ^{( )} ^{( )} ^{( )}

ln ln ln ln 1ln 3ln

2 2 2 2 2 2 2

2 2

= + = + =

b. ^ln

( )

⁶ ^ln ³

2

−   

 

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )

ln ln 3 ln ln ln ln ln ln ln ln

6 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2

2

−   = × − − = + − − =

  c. ln 2₃

e

 

 

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ln 2₃ ln ln ³ ln ln ln

2 e 2 3 e 2 3

e

 

= − = − = −

 

 

d. ^ln

( )

¹⁶ ⁺^ln

( )

⁴

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )} ^{( )} ^{( )}

ln 16 +ln 4 =ln 2⁴ +ln 2² =4ln 2 +2ln 2 =6ln 2 e.

( )

ln ln

8 2

( ) ( ) ^{( )} ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

ln ln ln ln ln

ln ln ln

ln ln

1 3

8 2 8 8 2 3 2 3

1 2 2 2

2 2

2

= = = = =

Exercice 2.2 domaine de définition

Etudier les domaines de définition des fonctions suivantes.

a. ^{f x}

( )

⁼^ln

( )

^x²

. *

2 0 0

x > ⇔ ≠x D=ℝ b. ^{g x}

( )

⁼^ln

(

^e^x ⁻¹

)

. *

e^x− > ⇔1 0 e^x > ⇔ >1 x 0 D=ℝ₊

(4)

c. ^{h x}

( )

⁼^ln

(

^e^x ⁻^e⁻^x

)

. *

e^x −e⁻^x > ⇔0 e^x>e⁻^x ⇔e2^x > ⇔ >1 x 0 D=ℝ₊ d.

( )

ln 1 k x 1

= x

−

{ } ] [ ] [

. *\

ln

0 0

e 0 ; e e ;

1 e

x x

x x D

> >

 

⇔ = = ∪ + ∞

 

≠ ≠

 

ℝ

Exercice 2.3 étude

Pour tout réel x > 0 on pose : ^{f x}

( )

^{= − −}^x ¹ ^ln^x. Déduire de l’étude de f que lnx≤ −x 1^. La question revient à établir que ^{f x}

( )

^≥⁰. Etudions les variations de cette fonction.

( )

¹ ¹

f x

′ = −x. ^f^′

( )

^x > ⇔ >⁰ ^x ¹. La fonction f est strictement décroissante sur

] [

0 ; 1 et strictement croissante sur

]

^{1 ;}^{+ ∞}

[

. Elle atteint donc son minimum en x = 1 et ce minimum vaut ^f

( )

¹ ⁼⁰^.

La fonction f est donc effectivement positive.

Exercice 2.4 limite

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +

∞

^{[ par} ^{f x}

( )

^{= −}^x ^ln^x^.

1) Etudier les variations de f sur ]0 ; +

∞

^[.

( )

¹ ¹

f x

′ = −x. ^f^′

( )

^x > ⇔ >⁰ ^x ¹. La fonction f est strictement décroissante sur

] [

0 ; 1 et strictement croissante sur

]

^{1 ;}^{+ ∞}

[

. Elle atteint donc son minimum en x = 1 et ce minimum vaut ^f

( )

¹ ⁼¹^.

2) En déduire, sur ]0 ; +

∞

^[,^ln ^x ≤ ^x.

( )

f x étant positive, cela implique que lnx≤x et en notant x= a, ln a≤ a pour tout réel a.

3) Donner un encadrement de lnx

x quand x > 1.

ln ln ln ln

ln . .

1

1 2 2

2 Ainsi, 0

x x x x x

x x

x x x x x x x x

≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ < ≤

4) Que pouvez-vous dire de la limite de lnx

x en +

∞

^?

2 x

tend vers 0, donc lnx

x également.

Exercice 2.5 avec une suite

1) On admettra que pour tout réel x positif, ^ln

(

¹^{+ ≤}^x

)

^x. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, ^ln

(

ⁿ ¹

)

^ln

( )

ⁿ ¹

+ ≤ +n.

( ) ( ) ( )

ln ln 1 ln ln 1 ln 1

1 1 1

n n n n

n n n

    

+ =   + = +  + ≤ +

   

  .

2) Soit la fonction f x: ֏x+e⁻^x. Démontrer que ^f

(

^ln

( )

ⁿ

)

^ln

( )

ⁿ ¹

= +n .

(

ln

( ) )

ln

^{( )}

^ln^{( )} ln

^{( )}

ln1_{( )} ln

^{( )}

1 e

e

n

f n n n n n

n

= + − = + = + .

(5)

3) On considère la suite

( )

un n_≥1 à termes positifs, telle que u₁=0 et u_n₊₁=u_n+e⁻^uⁿ. Démontrer par récurrence que un≥^ln

( )

n . (on admettra que la fonction f est croissante sur ℝ₊_).

Initialisation – Pour n = 1 : ^u¹^{= ≥}⁰ ^ln

( )

¹ ^.

Récurrence – Hypothèse : à un rang n, ^uⁿ^≥^ln

( )

ⁿ . A-t-on alors ^uⁿ+¹≥^ln

(

ⁿ+¹

)

?

( ) (

^ln

( ) )

^ln

( )

^ln

( )

1 croissante question 2 question 1

e ^uⁿ 1 1

n n n

u u f u f f n n n

n

−

+ = + = ≥ = + ≥ + .

4) En déduire la limite de la suite

( )

un n_≥1.

( )

ln lim

n n

n

u n u

≥ ⇒ →+∞ = +∞. Exercice 2.6 vrai ou faux

Soit f la fonction définie par : ^{f x}

( )

⁼^{ln ln}

( )

^x , D son ensemble de définition, et C sa courbe représentative.

a. On a : D=ℝ^*.

b. Pour tout x∈D^,

( )

ln f x 1

x x

′ = .

c. Une équation de la tangente à C au point d’abscisse x = e est e e y= x− . d. Pour tous réels a et b vérifiant b > a ≥ e, on a :

( ) ( )

¹

e f b f a

b a

− >

−

a. FAUX. Pour que ^{ln ln}

( )

^x soit défini, il faut que lnx soit strictement positif, donc que x soit strictement supérieur à 1.

b. VRAI. La dérivée de ^ln

( )

û êstû

u

′, soit ici avec u=lnx^:

( )

ln ln

1 x 1 f x

x x x

′ = = .

c. VRAI. Au point d’abscisse x = e, l’équation de la tangente est :

( )(

^e ^e

) ( ) (

^e ¹ ^e

)

^{ln ln}

( )

^e ^e ⁰

e e

y= f′ x− + f = x− + =x− +

d. FAUX. Le théorème des accroissements finis assure que si f est une fonction de classe C² sur un intervalle, alors pour tous a et b intérieurs à cet intervalle il existe un réel c entre a et b tel que

( ) ( ) ( )

f b f a

f c b a

− = ′

− . Ici,

( )

ln f c 1

c c

′ = et comme c > a ≥ e, ln ln ln

ln

1 1

e e e

c c c c e

c c

> ⇔ > ⇔ < .

Soit f la fonction définie sur ℝ^*₊ par :

( )

1 ^ln2x f x x

= + + x et C sa courbe représentative.

a. ^lim_x_→₀ ^{f x}

( )

^{= +∞}. b. Pour tout x∈ℝ^*, ^{f x}

( )

^≥⁰^.

c. C admet la droite d’équation y= +x 1 comme asymptote.

d. C admet la droite d’équation x=0 comme asymptote.

a. FAUX. Un théorème de comparaison donne ln limx 0 a

x

→ x = −∞ pour tout réel a > 0.

b. FAUX. La réponse a. nous indique que pour x suffisamment faible, ^{f x}

( )

devient négatif.

c. VRAI. Un théorème de comparaison donne ln

lim _a 0

x

→+∞ x = pour tout réel a > 0.

d. VRAI. voir réponse a.

(6)