FONCTION EXPONENTIELLE 1

O3-Fonction exponentielle

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FONCTION EXPONENTIELLE 1

Soit =

−

+ 1

On note sa représentation graphique dans un repère orthogonal

; ; du plan.

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction définie sur ℝ par =

− 1 1) Déterminer les limites de en +∞ et en −∞

2) Etudier les variations de sur ℝ

3) En déduire que l’équation = 0 admet une solution sur ℝ notée * 4) Donner un encadrement de * à 10

près

5) En déduire le signe de sur ℝ Partie B : étude de

1) Déterminer la limite de en +∞. Que peut-on en déduire pour ? 2) Déterminer la limite de en −∞.

3) Etudier la position relative de

par rapport à D 4) a) Montrer que, pour tout réel ,

=

b) En déduire les variations de sur ℝ

c) Donner une équation de la tangente à

au point d’abscisse 0

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2

CORRECTION

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

1) Déterminer les limites de 7 en +∞ et en −∞

→4:lim = +∞

→4:lim = +∞; <=> <>?@ABC lim^→4: = +∞

→4:lim −1 = −1 D <=> E?FF lim_→4: = +∞

→+:lim = 0

→+:lim −1 = −1; <=> E?FF lim→+: = −1 2) Etudier les variations de 7 GHI ℝ = − 1

⁰ = 1 × + = 1 +

On résout ⁰ = 0 ⇔ 1 + = 0 ⇔ = 0 ?A 1 + = 0 ⇔ ∅ M=> > 0 ?A = −1

−∞ −1 +∞

+ + 1 + − +

′ − +

−1 +∞

−⁺⁵− 1

−1 = −⁻¹− 1

3) En déduire que l’équation 7P = Q admet une solution GHI ℝ notée R Sur [−1; +∞[, est continue et strictement croissante.

−1 = −⁻¹− 1 ≈ −1,4 et _→+∞lim = +∞

0 ∈ [−⁺⁵− 1 ; +∞ [ , donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, = 0 admet une solution unique *.

4) Donner un encadrement de R à WQ^+X près A la calculatrice : 0,56 < * < 0,57

5) En déduire le signe de 7 GHI ℝ

−∞ * +∞

− +

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Partie B : étude de

1) Déterminer la limite de ] en +∞. Que peut-on en déduire pour ^] ?

= − + 1 =

_1 − `

_1 + 1`=1 − 1 + 1

→4:lim 1 = 1

→4:lim −

= 0a <=> E?FF lim_→4:1 − = 1

→4:lim 1 = 1

→4:lim 1

= 0a <=> E?FF lim_→4:1 + 1 = 1

bc cd cc e

<=> E?FF lim_→4: = 1

2) Déterminer la limite de ] en −∞.

= − + 1

→+:lim = 0

→+:lim − = +∞; <=> E?FF lim^→+:− = +∞

→+:lim = 0

→+:lim 1 = 1 ; <=> E?FF lim→+:+ 1 = 1 bcc d cce

<=> fA?CBgC lim_→+: = +∞

3) Etudier la position relative de ^] par rapport à D

Etude du signe de − − = 1 +

+ 1 ^, = ′ + 1 ^, On connait le signe de ′

⇔ + 1 ^,≠ 0

⇔ + 1 ≠ 0 car > 0 D’où :

−∞ −1 +∞

′ − + + 1 ^, + + − − − +

Sur ] − ∞ ; −1[ , − − < 0 ⇔ < − ; donc est en dessous de D Sur ] − 1 ; +∞[ , − − < 0 ⇔ < − ; donc est au dessus de D

O3-Fonction exponentielle

www.famillefutee.com 4) a) Montrer que, pour tout réel P, ]⁰P =_m^7P _{P4W X}

4

= − + 1 est de la forme ⁿ_o

⁰ =− 1 + 1 − −

+ 1 ^, =^,− 1 − ^,+

+ 1 ^, = − 1 + 1 ^,= Or = − 1

Donc ⁰ =+ 1 ^,

b) En déduire les variations de ] GHI ℝ −∞ * +∞

− + + 1 ^, + +

⁰ − +

+∞ 1

c) Donner une équation de la tangente à ^] au point d’abscisse 0

L’équation de la tangente à au point d’abscisse 0 est de la forme : p = ⁰0 − 0 + 0

⁰0 = 0

^q+ 1 ^, =−1 4

0 = ^q− 0 ^q+ 1 =1

2

D’où : p =−1

4 +1 2