PROF 1/3
LES FONCTIONS EXPONENTIELLES.
Dans tout le chapitre, q désigne un nombre strictement positif.
I. Les fonctions x q x .
1. Fonction exponentielle de base q.
Définition : q est un réel strictement positif. La fonction ... s appelle la fonction exponentielle de base q. Elle est définie sur . Sa courbe est obtenue en reliant par une ligne continue et régulière les points de coordonnées ( n u n ) où ( ) u n est la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison q (on a alors u n q n )
Propriétés admises :
La fonction exponentielle de base q est ... sur et strictement positive sur : ...
Exemples :
si q 1 : la fonction exponentielle de base 1 est constante sur : pour tout x de , 1 x 1.
2 3 2 3 2 0
A la calculatrice, on obtient 2 1,7
Sens de variation (admis) :
Si q 1, la fonction exponentielle de base q Si q 1, la fonction exponentielle de base q est strictement ... est strictement ...
2. Relation fonctionnelle.
Les règles de calcul connues pour les exposants entiers s étendent aux exposants réels : Théorème (admis) : La fonction exponentielle de base q transforme les sommes en produits : q est un nombre strictement positifs, a et b sont des réels, alors ...
Conséquences (admises) :
a et b sont des réels, n est un entier relatif et q est un réel strictement positif.
Alors : q a ... q a b ... ( ) q a n ... q
1
2
...
Exemples : q 3,1 q 1,2
q 2,1 = ...
9 2x
1 2
( ) 9 x 2 = ...
PROF 2/3
II. La fonction exponentielle.
1. Définition.
Parmi toutes les fonctions de la forme x q x avec q 0, on cherche celle dont le nombre dérivé en 0 est 1.
A l aide du logiciel Géogébra, on crée un réel q 0 et on trace la courbe de la fonction x q x et la tangente T à cette courbe au point d abscisse 0.
Le nombre dérivé en 0 est ...
On fait varier q.
On observe qu il existe une unique valeur de q pour laquelle le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 0 est 1 : on a alors q ...
Il existe une seule valeur de q 0 pour laquelle la fonction x q x , admet pour nombre dérivé 1 en 0. Cette valeur est notée e. On a alors e ...
Définition : La fonction x e x s appelle ... On la note ...
Exemples :
exp(0) ... exp(1) ... exp
1
2 ……….
2. Conséquences.
e 0 1 et pour tout réel x; e x > 0. Pour tous réels a et b et pour tout entier n :
3. Etude de la fonction exponentielle.
Théorème (admis) : La fonction exp est dérivable sur et pour tout x de , on a : exp′( x) = exp( x ).
On peut alors construire le tableau de variations suivant :
x 0+
signe de exp (x)=e x variations de la
fonction exp
Conséquence : x < 0 e x < 1 et x > 0 e x > 1.
Pour tous réels a et b, e a = e b équivaut à a = b.
e a < e b équivaut à a < b.
Représentation graphique :
Exemple : f est la fonction définie sur par f( x) x
e x . Construire le tableau de variation de la fonction f.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
