3. Étude de la fonction exponentielle (de base 1 )

Fonctions exponentielles – Classe de Terminale ES Page 1

Fonctions exponentielles

1. Fonctions exponentielles de base

Fonction ↦ , avec > 0

Définition. Soit un réel strictement positif. La suite de terme général = est une suite géométrique. La fonction exponentielle de base est le prolongement de cette suite. Elle est définie par = .

Théorème. La fonction exponentielle de base est dérivable sur ℝ, donc continue sur ℝ.

Théorème. Pour tout réel , on a

> 0.

On a représenté ci-contre la fonction ↦ 1,5 ainsi que les premiers termes de la suite 1,5 . Théorème (sens de variation). En accord avec le sens de variation des suites on a que, pour une fonction exponentielle de base , avec > 0

• si > 1, la fonction ↦ est strictement croissante sur ℝ ;

• si 0 < < 1, la fonction ↦ est strictement décroissante sur ℝ ;

• si = 1, la fonction ↦ = 1 est constante sur ℝ ; Formules de calcul

Théorème. Soit la fonction exponentielle de base > 0, = . Elle transforme les

produits en sommes : + = ou encore

= × .

Il en résulte les formules suivantes, pour > 0.

• = 1 et = ;

• pour tous réels et , on a = et = ;

• pour tout réel et tout entier , on a = .

• pour tout entier > 0, le nombre ^"! est tel que # ^"!$ = , on l’appelle « racine - ième de ».

Exemple

• 1,03 = 1,03 × 1,03 ;

• 2,5^' =^',(_',(⁾_! = ^*',(_',(⁾⁺ = 0,4 × 6,25 ;

• 25^!) = √25 = 5 ;

• 16^!/ = 2, en effet 2⁰ = 16.

Fonctions exponentielles – Classe de Terminale ES Page 2

2. Fonction exponentielle de base 1

Fonction exp et nombre 2

Définition. Parmi toutes les fonctions exponentielles de base , une seule vérifie ³ 0 = 1. On appelle sa base 1, on l’appelle fonction exponentielle de base 1 ou plus simplement fonction exponentielle et on la note exp.

On a donc par définition exp = 1 ,exp′ 0 = 1 et exp 1 = 1. Le nombre 1 vaut environ 2,718 > 1 donc exp est

croissante.

Pour tout , on a 1 > 0.

Comme toute fonction exponentielle, la fonction exp transforme les sommes en produit. On a donc :

• 1 = 1 ;

• pour tous réels et , 1 = 1 1 ; 1 =^:_: et en particulier 1 1 = 1 ;

• pour tous reéls et , 1 = 1 , en particulier 1^' = 1 ^'.

Exemple

• 1 = 1 × 1 = 1 × 1 ;

• 1^; × 1 ^' = 1^{; '} = 1^{' ;} ;

• 1 1 + 21 = 1 × 1 + 1 × 21 = 1 + 21^' ;

Résolution d’équations

Comme pour tout > 0, on a 1 > 0, l’équation 1 = < n’a pas de solution si < ≤ 0. Théorème. Soit > et ? deux réels. On a

1^@ = 1^A ⇔ > = ?.

Autrement dit, deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux.

En particulier comme 1 = 1 , l’équation 1^@ = 1 équivaut à > = 0. Exemple

• 1^' = 1 ⟺ 2 + 1 = 0 ⟺ = −_' ;

• 1^; = 1^' ⟺ 3 − 1 = 2 − ⟺ =^;₀.

Fonctions exponentielles – Classe de Terminale ES Page 3

3. Étude de la fonction exponentielle (de base 1 )

Fonction dérivée et convexité

Théorème. La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. Autrement dit si l’on pose

= 1 , alors ³ = 1 .

Exemple

Soit = 2 − 3 1 . Alors par la formule donnant la dérivée d’un produit

3 = 2 × 1 + 2 − 3 × 1

donc en mettant 1 en facteur, ³ = 2 − 1 1 . L’étude du signe de ′ est alors très simple puisque 1 > 0 pour tout .

Comme ³³ = 1 > 0 on a le résultat suivant.

Théorème. La fonction exponentielle est convexe sur ℝ. Résolution d’inéquations

Théorème. Soit > et ? deux réels. On a

1^@ ≤ 1^A ⇔ > ≤ ?.

En particulier comme 1 = 1, on a

1^@ ≥ 1 ⟺ > ≥ 0 et 1^@ ≤ 1 ⟺ > ≤ 0. Exemple

Soit l’équation 1^; ≤ 1^' . D’après le théorème 1^; ≤ 1^' ⟺ 3 − 1 ≤ 2 − ⟺ 4 ≤ 3 ⟺ ≤^;₀, donc F = G−∞;^;₀G.

4. Fonction 1

Définition. Étant donné une fonction , on appelle exponentielle de la fonction définie par

↦ 1^J , notée 1^J. Exemple

Les fonctions = 1^' et K = 1 ^)L! sont des exponentielles de fonction. On peut aussi écrire K = exp # ⁾ $ pour des raisons de place.

Théorème. Soit une fonction dérivable sur un intervalle M. La fonction 1^J est dérivable sur M et 1^{J 3} = ³× 1^J, c’est-à-dire qu’en posant = 1^J , on a ³ = ³ × 1^J .

Exemple

Soit = 1^{; '}. Alors ³ = 31^{; '}. Soit K = 1 ^{) 0}. Alors K³ = 2 1 ^{) 0}.