Thème 3 – La fonction exponentielle de base e

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Terminale S FON 1

Thème 3 – La fonction exponentielle de base e

Introduction physique : une équation différentielle

La radioactivité est un phénomène physique naturel au cours duquel des noyaux atomiques instables se transforment spontanément, se désintègrent.

L’expérience suggère que si l’on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs, le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps ∆t est proportionnel au nombre total de noyaux N(t) présents à l’instantt. Il existe alors une constanteλ, caractéristique du noyau en question, telle que ^∆^N_∆⁽t^t⁾=−λN(t).

Le terme de gauche étant le taux de variation de la fonction N, quand l’intervalle de temps ∆t tend vers 0, cette relation s’écrit N^′(t) =−λN(t). La fonction N vérifie donc une équation différentielle , c’est-à-dire qu’elle est solution d’une équation où intervient sa dérivée. Dans ce chapitre, nous allons découvrir une fonction vérifiant cette relation avecλ=−1 et étudier ses propriétés.

Théorème 1 : Existence et unicité

Il existe une unique fonction f telle quef^′=f et f(0) = 1.

Démonstration : Voir activité activité 3.2 L’existence de cette fonction est admise.

Pour l’unicité, supposons qu’il existe deux fonctions non nulles f et gvérifiant ces propriétés, c’est-à-dire telles que f^′ =f et f(0) = 1, g^′ =g et g(0) = 1. On peut démontrer (activité 3.1 ) que ces deux fonctions (et en particulier g) ne s’annulent pour aucune valeur dex. On peut alors considérer la fonction h= ^f_g. Sa dérivée est h^′= ^f^′^{g−f g}_g₂ ^′ = ^{f g−f g}_g₂ = 0. La fonctionhest donc constante. Or,h(0) = ^f(0)_g(0) = 1. Donc la fonctionhest constante

égale à 1, et ainsif=g.

Définition 1 : La fonction exponentielle

L’unique fonctionf définie surRet vérifiantf^′ =f etf(0) = 1est appelée fonction exponentielle.

Elle est notéex7→exp(x).

Proposition 1 : Signe et variations

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur R.

Démonstration : Voir activité 3.1

Illustration : Courbe représentative

1 2

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

O ~ı

~

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Théorème 2 (admis) : Dérivée d’une fonction de la formee^u

Pour toute fonction udéfinie et dérivable sur un intervalleI de R,(e^u)^′=u^′e^u.

Exemples : Soitkun nombre réel.

La dérivée de la fonctionx7→e^−kx est la fonctionx7→ −ke^−kx. La dérivée de la fonctionx7→e^−kx² est la fonctionx7→ −2kxe^−kx².

Théorème 3 : Relation fonctionnelle

Pour tous réelsxet y,exp(x+y) = exp(x) exp(y).

Démonstration : Voir activité 3.4 .

Pour démontrer cette relation, fixons un réel y et considérons la fonction hdéfinie sur Rparh(x) = ^exp(x+y)_exp(y) . Cette fonction est bien définie puisque exp(y) est strictement positif donc non nul.

• D’une part,h(0) = ^exp(0+y)_exp(y) = ^exp(y)_exp(y)= 1.

• D’autre part, puisqueyet exp(y) sont constants et en utilisant le théorème 2, on ah^′(x) =^exp(x+y)_exp(y) =h(x).

La fonctionhest donc la fonction exponentielle, c’est-à-dire ^exp(x+y)_exp(y) = exp(x) et donc exp(x+y) = exp(x) exp(y).

Proposition 2 : Propriétés algébriques

Pour tous réelsxet y et tout entier naturelnun entier naturel, on a exp(x−y) =exp(x)

exp(y) et exp(nx) = [exp(x)]ⁿ

Démonstration :D’après la relation fonctionnelle de l’exponentielle, exp(x) = exp(x−y+y) = exp(x−y) exp(y), donc exp(x−y) =exp(x)

exp(y). On démontre la seconde propriété par récurrence (voir thème 2).

Définition 2 : Nombreeet nouvelle notation de la fonctionexp

La fonction exponentielle a donc les mêmes propriétés algébriques que les puissances. Cela justifie la notation exp(x) =e^x, où eest le nombreexp(1)≈2.71828, parfois appelé nombre d’Euler du nom du mathématicien Suisse du XVIIIème siècle.

Proposition 3 : Limites de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle admet les limites suivantes aux bornes de son ensemble de définition :

x→−∞lim e^x= 0 et lim

x→+∞e^x= +∞.