 Utiliser la méthode d‘Euler pour déterminer à partir de son équation différentielle l’évolution d’une population de noyaux radioactifs

P04 : La loi de décroissance radioactive – Méthode d’Euler But du TP :

 Utiliser la méthode d‘Euler pour déterminer à partir de son équation différentielle l’évolution d’une population de noyaux radioactifs

 Tracer la courbe de décroissance radioactive

 Définir puis déterminer la demi-vie d’un échantillon radioactif

 Définir la constante de temps 

 Donner l’équation mathématique de la loi de décroissance radioactive I. Population étudiée

On étudie la désintégration  des noyaux de polonium 218.

1) Ecrire l’équation de la réaction nucléaire.

Données :

Symbole Pb Bi Po At Rn Fr Ra

Numéro atomique Z 82 83 84 85 86 87 88

2) Donner la composition des noyaux pères et fils.

II. Courbe de décroissance radioactive.

1.

Principe de la méthode d’Euler On note :

- N

le nombre de noyaux radioactifs à l’instant t=0 - N le nombre de noyaux pères à l’instant t

- N’ le nombre de noyaux pères à l’instant t+t.

On a donc N’<N et N=N’-N <0

Pendant la durée t, le nombre de désintégrations moyens est n =N-N’= -N

Remarque : N et N’ sont des valeurs moyennes, ils peuvent ainsi correspondre à des valeurs décimales.

n est proportionnel à : - la durée t

- N le nombre de noyaux pères restant à l’instant t de la désintégration

En notant  la constante radioactive, on a donc : n =.N.t avec n = -N d’où N=-.N.t (1)

Connaissant le nombre de noyaux N

à l’instant t=0, la constante radioactive  et la durée t on peut ainsi calculer N puis N’=N

+N à l’instant 0+t suivant. De proche en proche on peut déterminer le nombre de noyaux restant N en fonction du temps puis tracer la courbe de décroissance radioactive N(t). Ce mode de calcul s’appelle la méthode d’Euler.

2.

Tracé de la courbe

 A l’instant t=0s on prend une population de noyaux radioactifs N

=100.

 Pour la désintégration  du polonium, la constante radioactive est = 0,22 min

 la durée entre chaque mesure est t=0,5min.

Utiliser un tableur pour calculer de proche en proche N. Créer un tableau de ce type :

Les valeurs numériques des cases B1, B2 et B3 sont des valeurs fixes. Pour les formules faisant appellent à ces données, on utilisera le nom de ces cases sous la forme $B$1, $B$2 ou $B$3 (les cases ne sont ainsi pas incrémentées lors des copier coller)

Formules utilisées dans les cases du tableur (compléter) : E5 :

D6 (à copier coller ensuite jusqu’à D50) : E6 (à copier coller ensuite jusqu’à E50) : F5 (à copier coller ensuite jusqu’à F50) :

Une fois le tableau terminé, tracer le graphe N(t) : sélectionner les données relatives à t et à N puis cliquer dans le menu sur « insertion », « diagramme », suivant , choisir le diagramme XY, suivant, lignes avec symboles, suivant puis créer. Commenter la courbe obtenue.

On souhaite maintenant importer ces données numériques dans synchronie. Sélectionner pour cela les cases D4 à E50 (relatives à t et N) puis faire un copier. Ouvrir synchronie puis cliquer sur l’onglet tableur. Cliquer sur édition puis « Coller comme une nouvelle variable ». Synchronie colle les valeurs de t (qu’il appelle T_EXT) et N.

Paramétrer synchronie pour lui faire afficher N en fonction du temps en fenêtre 1 (cliquer sur paramètres, onglet courbes, choisir N, cocher la fenêtre 1, onglet fenêtres, choisir T_EXT en abscisse puis échelle en totalité en ordonnée)

3. Demi-vie t1/2

La demi-vie t1/2 est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux pères se sont désintégrés. Déterminer graphiquement cette demi-vie. Vérifiée la relation suivante :



2 /

1 

t . Comparer, par un calcul d’erreur, cette valeur à la valeur théorique.

4. Constante de temps



La constante de temps  est égale à l’inverse de la constante radioactive  :





Une autre méthode pour déterminer sa valeur consiste à tracer la tangente à l’instant t=0 à la courbe N(t) : la tangente coupe l’axe des temps à l’instant t=. Déterminer graphiquement cette valeur. Comparer, par un calcul d’erreur, cette valeur à la valeur théorique. Pour réduire l’erreur entre t1/2 et  on pourra modifier la valeur de t dans le tableur d’open office, recommencer le copier coller puis déterminer à nouveau les valeurs de t1/2 et 

5. Modélisation de la courbe de décroissance radioactive.

Utiliser l’outil modélisation (rubrique Traitements du menu de synchronie) pour déterminer l’équation de la courbe de décroissance radioactive. Noter les valeurs a et b de la modélisation.

En déduire l’expression de N en fonction de N0,  et t.

durée t Nombre de noyaux à l’instant t=0

Constante radioactive



On calcule le temps en fonction de la case précédente et de la durée t

On indique ici le contenu de la case B2

On calcule N’=N+N

On calcule N à l’aide de la relation (1)