FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE. I LA FONCTION EXPONENTIELLE 1° Généralités

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FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE.

I LA FONCTION EXPONENTIELLE 1° Généralités

Il existe de nombreuses situations en sciences expérimentales et en sciences économiques dans lesquelles des phénomènes peuvent être modélisés par des équations du type y' = k y, où y désigne une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

Résoudre sur I l’équation différentielle que l’on note y' = k y, c’est rechercher toutes les fonctions f dérivables sur l’intervalle I qui vérifie la relation : f '(x) = k f(x) pour tout x de I

Si de plus, le problème considéré impose aux fonctions f cherchées des conditions qui se traduisent par une égalité de la forme f(x0) = y0 où x0 et y0 sont deux réels donnés avec x0 élément de I, on dit que l’on résout

l’équation différentielle avec condition initiale (à savoir f(x0) = y0) que l’on note alors :



y' = k y y(x0) = y0

2° Cas particulier : équation différentielle y' = y, y(0) = 1. Fonction exponentielle a) Définition

Il existe une fonction f, dérivable sur IR, solution de l'équation différentielle Y '= Y et telle que f(0) = 1 que l'on appelle la fonction exponentielle.

Existence de f :

La méthode d'Euler suggère d'étudier les suites













 1 + x

n n

et













 1 – x

n n

.

On admet provisoirement que pour tout réel x ces deux suites convergent vers la même limite et on note provisoirement exp (x).

b) Démonstration. Unicité de f

Démontrons d'abord que exp ne s'annule pas sur IR .

Soit la fonction φ définie sur IR par φ (x) = exp(x) exp(– x). φ est dérivable sur IR et φ'(x) = exp'(x) exp(–x) – exp(x) exp'(– x) = 0.

La fonction φ est constante sur IR et égale à 1 car exp(0) = 1. donc φ(0) = 1 Donc pour tout réel x, exp(x) × exp(– x) = 1. exp ne s'annule donc pas sur IR . Démontrons maintenant l'unicité de la solution.

Soit f une solution de



y' = y y(0) = 1

On définit h la fonction définie sur IR par h(x) = f(x) exp(x)

Remarque : f est bien définie sur IR car la fonction exp est définie sur IR et elle ne s'annule pas sur IR.

On va démontrer que la fonction h est constante sur IR et pour tout réel x h(x) = 1 ce qui démontrera que les fonction f et exp sont identiques.

h est le quotient de deux fonctions dérivables sur IR et h est définie sur IR donc h est dérivable sur IR.

h'(x) = f'(x) × exp (x) – f(x) × exp'(x)

(exp(x))² = f(x) × exp(x) – f(x) × exp(x) (exp(x))² = 0.

En effet pour tout réel x f'(x) = f(x) et exp'(x) = exp(x).

La fonction h a donc sa fonction dérivée nulle sur l'intervalle IR elle est donc constante sur IR.

Pour tout réel x h(x) =h(0) = f(0) exp(0) = 1

1 = 1.

On a donc bien pour tout réel x, f(x)

exp(x) = 1 c'est à dire f(x) = exp(x).

2° Propriété

La fonction exponentielle est strictement positive sur IR.

Démonstration

On démontre maintenant, par l'absurde, que la fonction exp est strictement positive.

S'il existait x0, tel que exp(x0) ≤ 0, alors, exp étant dérivable sur IR, elle est continue sur IR. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction exp sur [0 ; x0] ou [x0 ; 0], on trouverait une solution à l'équation exp(x) = 0. Ceci est faux puisqu'on a montré que exp ne s'annule jamais, donc xo tel que exp(x₀) ≤ 0 n'existe pas.

Remarque : si f est continue sur un intervalle I et si f ne s'annule pas sur cet intervalle alors f garde un signe constant sur l'intervalle I.

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3° propriété ("caractéristique" de la fonction exp)

Pour tous nombres réels a et b, exp (a + b) = exp(a) × exp(b).

Démonstration

Soit la fonction g définie sur IR par g(x) = exp(a+ b – x) ×exp(x) où a et b sont des nombres réels. g est dérivable sur IR, et on a pour tout réel x : g'(x) = – exp(a + b – x) × exp (x) + exp(a + b – x) × exp'(x) = 0

car exp'(x) = exp(x)

la fonction g est donc constante sur l'intervalle IR g(a) = g(b) = exp(a) × exp(b)

g(0) = g(a + b) = exp(a + b)

on a donc : exp(x + b) = exp(x) exp(b).

La propriété est "caractéristique" de la fonction exp



f est dérivable sur IR

pour tout réel a et b : f(a + b) = f(a) × f(b) f'(0) = 1

caractérise la fonction exp.

C'est à dire que si une fonction f vérifie



. Alors cette fonction est la fonction exp.

Démonstration

Soit f une fonction vérifiant



Pour tout réel a, f(a + 0) = f(a) × f(0) donc pour tout réel a : f(a) (1 – f(0)) = 0

Comme f '(0) ≠ 0 on peut dire que la fonction f n'est pas constant sur I et donc qu'il existe un réel a tel que f(a) ≠ 0.

On peut donc conclure que f(0) = 1

Pour tout réel a on pose g_a la fonction définie sur IR par : g_a(x) = f(a + x) = f(a) × f(x).

g_a est la composée de deux fonctions dérivables sur IR elle est donc dérivable sur IR on peut alors calculer la fonction dérivable de g de deux manières différentes

En utilisant l'égalité : ga(x) = f(a + x) Pour tout réel x on a donc :

Pour tout réel x on a ga(x) = f(a + x) donc ga '(x) = f '(a + x) × (x + a)' En utilisant l'égalité : ga(x) = f(a) × f(x)

Pour tout réel x on a :g_a(x) = f(a) × f(x) donc g_a '(x) = f(a) × f '(x) En comparant les deux calculs on peut dire que :

Pour tout réel x f '(a + x) = f (a) × f '(x).

Pour x = 0 on obtient (pour tout réel a): f '(a + 0) = f(a) × f'(0) c'est à dire f'(a) = f(a) (car f '(0) = 1) On peut dire que pour tout réel a, f '(a) = f(a)

f vérifie



f(0) = 1

f ' = f f est donc la fonction exp

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II NOTATION e^x 1° Cas de x ∈∈∈∈ IQ

Le nombre réel exp(l) se note e.

• Tout d'abord, on montre, par récurrence, que, pour tout nombre n entier naturel, on a :

« exp(n) = (exp(1))ⁿ. » Initialisation

On a : exp(0) = 1 et (exp(1))⁰ = 1 La propriété est donc vraie pour n = 0 Hérédité

Considérons un entier k, on ait exp(k) = exp(1))^k. On a vu qu'alors :

exp((k + 1)) = exp(k) × exp(1)= exp(1))^k × exp(1) = (exp(1))^{k+ 1} . On a bien exp(k + 1) = (exp(1))^k+1

Conclusion

La propriété est vérifiée pour n = 0.et elle est héréditaire donc pour tout nombre entier n exp(n) = (exp(1)ⁿ = eⁿ

• Pour tout entier relatif m on a : exp(m) = e^m Si m ∈ IN la propriété a été vérifié.

Si m = – n avec n ∈ IN

Par définition, exp(1) = e et on a vu que, exp(n) × exp(–n) = 1.

Donc exp(m) = exp(–n) = 1

exp(n) = 1

(exp(1))ⁿ = (exp(1)^–n = (exp(1))^m = e^m

• Pour tout nombre rationnel q : exp(q) = e^q

Si q est un nombre rationnel, on peut écrire q = p × a avec a = 1

q , q entier strictement positif et p un entier relatif. : exp(1) = exp(q a) = (exp(a))^q.

On peut donc dire que : exp(a) = (exp(1))

1 q exp(q) = exp(p a) = exp(a)^p = 

 (exp(1))

1 q p

= (exp(1))

p

q Soit exp(q) = (exp(1)^q = e^q Donc, pour tout q élément de IQ, exp(q) = e^q .

2° Notation

• On étend cette propriété à IR et on convient de noter e^x le nombre exp(x) pour tout x élément de IR.

Remarques Ainsi e ² a un sens, c'est l'image de 2 par la fonction exp : x ^^→ e^x . On a aussi e⁰ = 1 ; e^l = e ; e^–1 = 1 ; e²

1

= e 3° Conséquences

Pour tous nombres réels a et b . e^a+b = e^a ×e^b e^–a = 1

eâ eâ–b = eâ

e^b

Pour tout nombre réel a et tout nombre rationnel r : e^ra = (e°)^r. Exemples

e^x+1 = e^x × e ; e^x–2 = e^x × e² ; e^2x = (e^x)² ; e²

x

= e^x. Remarque

Ne pas confondre e( )^a^b _et

( )

^e^{a b}^{; ainsi e}^x²^{= exp(x}²) alors que (e^x)² = e^2x.

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III ETUDE DE LA FONCTION x ^^^^^^^^^^→^→^→^→ e^x

D'après sa définition : solution de l'équation différentielle Y ' = Y et telle que f(0) = 1, la fonction x ^^→ e^x est dérivable sur IR donc continue sur IR, et égale à sa dérivée.

1° Variations

• x ^^→ e^x est strictement croissante sur IR.

Démonstration

On a (e^x )' = e^x et pour tout x e^x > 0.

2° Limite en 0

x → 0lim e^x – 1

x = 1 Démonstration

La fonction x ^^→ e^x est dérivable en 0 donc son taux de variation e^x – 1

x a pour limite en 0 le nombre dérivé de x ^^→ e^x en 0, soit : lim

x → 0e^x – 1 x = e⁰ 3° limites en + ∞∞∞ et en – ∞∞ ∞∞ ∞

x → +∞lim e^x = + ∞ lim

x → –∞ e^x = 0 Démonstration

• Pour étudier la limite en + ∞ , on montre d'abord que, pour tout x, e^x ≥ x Soit la fonction f définie sur R par f (x) = e^x – x.

f est dérivable sur IR et f (x) = e^x – 1.

Comme exp est croissante sur IR et e⁰ = 1, on obtient le tableau de variations de f ci-dessous.

Comme, pour tout x, f(x) > 0, on a e^x > x et,

d'après un des théorèmes « des gendarmes », on a : lim

x → +∞ e^x = + ∞ .• Pour étudier la limite en – ∞ , on pose X = – x et on a e^x = e^–X = 1

e^X. :

x → –∞lim e^x = lim

x → –∞ e^–X = lim

x → +∞

1

e^X = 0 car lim

x → +∞ e^X = + ∞

4° Tableau de variations de la fonction exp et représentation graphique

x −∞ 1 1 +∞

signe de f ' + + +

+ ∞

f e

1 0

• La courbe représentative de la fonction : x ^^→ e^x passe par les points de coordonnée (0 ; l) et (1 ; e).

• La tangente à la courbe représentative de la fonction : x ^^→ e^x au point de coordonnées (0 ;1) a pour équation y = x + 1. De plus, pour h « assez petit » : e^h≈ 1 + h.

• La courbe représentative de la fonction x ^^→ e^x est au-dessus de l'axe des abscisses, qui est une droite asymptote.

5° Conséquences

• Pour tout nombre réel x : e^x > 0.

• Pour tous nombres réels x et y : e^x = e^y équivaut à x = y . e^x > e^y' équivaut à x > y.

Exemples

• e^3x = e^x+1 équivaut à 3x = x + 1. • e^x ≥ 1 équivaut à x ≥ 0. • e^x = 1 équivaut à x = 0.

6° Fonction e^u(x)

Soit u une fonction définie sur un intervalle I.

Si u est dérivable sur I, alors la fonction x ^^→ e^u(x) est dérivable sur I et sa dérivée est : x ^^→ u '(x) e^u(x). Démonstration

D'après le théorème de la dérivée d'une fonction composée, x ^^→ e^x étant dérivable sur IR et u dérivable sur I, la fonction composée : x ^^→ u-(x) ^^→ e^u(x) est dérivable sur I de dérivée x ^^→ u'(x) e^u(x).

Exemple La fonction x ^^→ e^{sin x} est dérivable sur IR de dérivée x –^^→ cos x e^{sin x}.

x −∞ 0 +∞

f ' – +

f

1

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7° Des limites fondamentales

x → +∞lim e^x

x = + ∞ lim

x → –∞ x e^x = 0 Démonstration

• On a vu que, pour tout x, e^x > x.

Donc, pour tout x, e^x/2 ≥ x

2 et, pour tout x ≥ 0,

(

^e^{x/2 2}

)

≥ 



 x 2

2

soit e^x ≥ x²

4 donc e^x x ≥ x

4. D'après un des « théorèmes des gendarmes », on obtient lim

x → +∞

e^x

x = + ∞ .

• On a x e^x = x

e^–x .En posant X = – x, on a : x e^x = – X e^X . Or lim

x → +∞

X

e^X = 0 donc lim

x → –∞ x e^x = lim

x → +∞ – X e^X = 0 8° Autres limites

Pour tout nombre entier n strictement positif n

• lim x → +∞ e^x

xⁿ = + ∞ • lim

x → –∞ xⁿ e^x = 0.

Démonstration

• Comme e^x > 0, - = e^x xⁿ =







 e^x/n n×x/n

n .

On pose X = x

n on a lim

x → +∞

e^X

X = + ∞ donc : lim

x → +∞

e^x xⁿ = lim

x → +∞



 e^X n X

n

= + ∞

• On pose x = – X. On a : xⁿ e^x = (– X)ⁿ e^–X, soit xⁿ e^x = (– 1)ⁿXⁿ e^X. Donc x → –∞lim xⁿ e^x = x → +∞lim (– 1)ⁿXⁿ

e^X = 0

Pour les limites en + ∞ et en –∞, on retiendra que « exp l'emporte sur x » . III EQUATION DIFFERENTIELLE Y'= A Y+ B

1° Théorème

Soit a un nombre réel.

• Les fonctions solutions de l'équation différentielle Y '= a Y sont définies sur IR par : f(x) = k e^ax où k est une constante réelle.

• Soit (x0; y0) un couple de nombre réels.

L'équation différentielle Y '= a Y admet une solution unique sur R vérifiant les conditions initiales : y0 = f(x0).

Démonstration

La fonction x ^^→ e^ax est solution de l'équation Y ' = a Y.

Si f est une autre solution de l'équation Y ' = a Y Soit g la fonction définie sur _° par g(x) = f(x)

eâx On a : g '(x) = f '(x) eâx – a f(x) eâx

(e^ax)² = 0 donc g est une fonction constante donc f est de la forme k × e^ax La condition y0 = f(x0) s'écrit y0 = k e^{a xo} soit k = y0

e^axo.

Donc il existe un réel k unique et une unique fonction f solution de l'équation Y'= aY et vérifiant y₀ = f (x₀).

Exemple : Soit l'équation différentielle Y ' = – 2 Y.

Les solutions sont les fonctions x ^^→ ke^–2x définies sur IR. Parmi ces solutions, une seule vérifie f(1) = 3 f(1) = 3 équivaut à 3 = k e^–2, soit k = 3 e², donc f(x) = 3 e² e^–2x = 3e^2–2x.

Remarque : Le réel a et le point A(xo ; yo) sont donnés.

Parmi les courbes représentatives des solutions de Y ' = a Y, il existe une seule courbe passant par A.

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2° Allure des courbes représentatives des solutions de Y = a Y

3° Théorème

Soit a et b des nombres réels.

• Les fonctions solutions de l'équation différentielle Y'= aY + b sont définies sur IR par : Si a = 0 : x ^^→ b x + k où k est une constante réelle

Si a ≠0 : x ^^→ k e^ax– b

a où k est une constante réelle

• Soit (x0 ; y0) un couple de nombre réels.

L'équation différentielle Y ' = a Y + b admet une solution unique sur vérifiant y0 = f(x0).

Démonstration '

• Si a = 0 : l'équation différentielle s'écrit Y' = b. Donc les solutions sur IR sont les primitives sur IR de la fonction constante x ^^→ b, c'est-à-dire les fonctions x ^^→ b x + k où k est une constante réelle.

• Si a ≠ 0, on peut écrire Y ' = a





 Y + b

a On pose Z = Y+ b

a eq ⇔ Y = Z – b a

on a Z ' = Y' = a Z donc Z est solution de l'équation différentielle Z ' = a Z dont les solutions sur IR sont les fonctions x ^^→ k e^ax.

Z = Y+ b

a eq ⇔ Y = Z – b

a donc Y est de la forme : x ^^→ k e^ax – b a La condition initiale y0 = f(x0) s'écrit y0 = k e^ax⁰ – b

a. D'oùt k = 

 y0 + b

a e^{a x}⁰

Donc il existe un réel k unique et une unique fonction f solution de l'équation Y'= aY + b qui vérifie y₀ , = f(x₀).

f définie sur IR par : f(x) =





 y0 + b

a e^{a x–a x}⁰ – b a

y

x

a > 0

y

x

a < 0

y

x