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Activité : à la découverte de la fonction exponentielle
Partie 1 : d’un modèle discret à un modèle continu
Le nombre de noyaux radioactifs dans une population de noyaux d’iode 131 diminue chaque jour d’environ 8,3%.
1) Modélisation par une suite :
Soit 𝑅& le nombre de noyaux au bout de n jours.
a) Exprimer 𝑅& en fonction de 𝑅( pour 𝑛 ≥ 0.
b) Soit 𝑓& la proportion de noyaux restants au bout de 𝑛 jours : 𝑓& =../
0 (𝑛 ≥ 0).
Vérifier que 𝑓&12= 𝑓&𝑓2 pour tous 𝑛 et 𝑚 entiers naturels.
2) Modélisation par une fonction
Soit 𝑓(𝑡) la proportion de noyaux initiaux restants à un temps 𝑡, en jours. On a donc : 𝑓(𝑛) = 𝑓&. Pour étendre l’égalité établie en 1) b), on cherche une fonction 𝑓, dérivable sur [0; +∞[ telle que : 𝑓(𝑡 + 𝑎) = 𝑓(𝑡)𝑓(𝑎) pour 𝑎 ≥ 0 et 𝑡 ≥ 0 (1)
a) On sait que 𝑓(0) = 𝑓( = 1. En remplaçant 𝑎 par 0 dans la relation (1), montrer que cette valeur de 𝑓(0) est cohérente avec la relation souhaitée.
b) On suppose 𝑎 fixé.
Quelle est la dérivée de la fonction 𝑡 ⟼ 𝑓(𝑡 + 𝑎)? Et celle de la fonction 𝑡 ⟼ 𝑓(𝑡)𝑓(𝑎) ? Quelle égalité en déduit-on ?
c) En déduire que 𝑓=(𝑎) = 𝑘𝑓(𝑎) où 𝑘 est une constate pour tout 𝑎 réel.
On va donc s’intéresser aux fonctions qui vérifient la relation 𝑓=(𝑥) = 𝑘𝑓(𝑥).
Ce genre de relation est appelée une équation différentielle (relation entre une fonction et sa dérivée).
Une solution d’une équation différentielle, s’il en existe, est une fonction.
Il existe ainsi de nombreuses situations, en sciences expérimentales et en sciences économiques, dans lesquels des phénomènes peuvent être modélisés par des équations du type 𝑦= = 𝑘𝑦 où y désigne une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et k désigne une constante réelle.
Trouver les fonctions f qui satisfont cette relation, c'est chercher les fonctions f dérivables sur I qui vérifient pour tout réel t : 𝑓=(𝑡) = 𝑘𝑓(𝑡).
Commençons par prendre 𝑘 = 1.
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Partie 2 : une approche graphique des fonctions solutions de f ’(x) = f(x)
1) Soit une fonction 𝑓, solution de l'équation différentielle 𝑦′ = 𝑦 (c'est à dire dérivable sur ℝ et vérifiant pour tout réel 𝑥, 𝑓=(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Montrer que la fonction ℎ définie sur ℝ par ℎ(𝑥) = 𝑘𝑓(𝑥) (𝑘 constante réelle) est également solution de cette équation différentielle.
On constate donc que si l'équation différentielle 𝑦= = 𝑦 a une solution, elle aura une infinité de solutions.
2) On considère la fonction 𝑓 dérivable sur ℝ telle que 𝑓(0) = 1 et 𝑓=(𝑥) = 𝑓(𝑥).
On note 𝐶E sa courbe représentative dans le repère orthonormé (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗).
a) 𝐴((0 ; 1) est donc un point de 𝐶E. Déterminer une équation de la tangente 𝑇 en 𝐴( à 𝐶E. b) Méthode d'Euler :
On appelle 𝑔 la fonction affine par morceaux de représentation graphique 𝑇 sur [0 ; 1].
𝑔 est la meilleure approximation affine de 𝑓 au voisinage de 0.
On prend donc 𝑔(1) comme approximation du nombre 𝑓(1) qui est inconnu.
Placer le point 𝐴O(1 ; 𝑔(1)). Déterminer une équation de la tangente en 𝐴Oà 𝐶E. En déduire l'expression de la fonction affine par morceaux 𝑔 sur [1 ; 2].
Placer 𝐴Q(2 ; 𝑔(2)).
On se place plus généralement sur l'intervalle [𝑘 ; 𝑘 + 1] où 𝑘 est un entier relatif.
Justifier que sur cet intervalle 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑘)(𝑥 𝑘 + 1).
En déduire une relation entre 𝑔(𝑘 + 1) et 𝑔(𝑘).
Achever alors la construction des points 𝐴R avec −2 ≤ 𝑘 ≤ 3.
On obtient ainsi une ébauche de la courbe représentative de 𝑓.
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Minutage en description : 00 :00 : intro
01 :01 : partie 1 (d’un modèle discret à un modèle continu)
05 :44 : transition (équation différentielle y’=y) 06 :41 : partie 2 (approche graphique des solutions de y ‘=y par la méthode d’Euler) 12 :41 : en résumé
