TS Fonction exponentielle (1) I. Généralités 1°) Rappel x

TS Fonction exponentielle (1)

I. Généralités 1°) Rappel

x 0 x +

Variation de la fonction ln y +

–

2°) Définition

Nous admettrons provisoirement que pour tout réel y, il existe un unique réel x^*_ tel que ln xy. Ce réel est appelé « exponentielle de y ».

On note xexp y.

N.B. De même que pour la fonction ln, il n’y a pas de « formule » pour l’exponentielle.

3°) Diagramme sagittal

ln x

exp

^*_  4°) Utilisation de la calculatrice

Exemple : exp (3)

2^nd LN 3 ENTER .

On trouve ^{exp 3}

 

ln

 

exp 0 1 car ln 1 0 1 0 exp ln

 

exp 1 e car ln e 1 e 1 exp

 

exp n eⁿ (n) car ^{ln e}

 

ln y x

6°) Notation définitive

 

exp x e^x (pseudo exposant) Explication de cette formule :

- est-ce que c’est le e que l’on a appris dans le chapitre précédent (nombre de Néper) ? - est-ce que c’est une puissance normale ?

7°) Exemples

e01 e1e

II. Propriétés déduites de la définition 1°) Propriété 1

 x e^x0 2°) Propriété 2

x *_

  y  ln xy  xe^y

Exemple : ln x2  xe² 3°) Propriété 3

y

  ^{ln e}

 

Exemple :

 

ln e 3

 

ln e  2

4°) Propriété 4

x *_

  e^lnxx

Exemple : eln 22

5°) Application à des équations et des inéquations

 Exemple 1 : Résoudre dans  l’équation : e^x3 (1)

Pas de conditions d’existence.

(1)  ^{ln e}

 

 xln 3 Donc S1





 Exemple 2 : Résoudre dans  l’équation : e^x2 (2)

Pas de conditions d’existence.

(2)  ^{ln e}

 

 xln 2 Donc S2 





 Exemple 3 : Résoudre dans  l’équation : lnx 2 (3) CE : On doit avoir x > 0.

On résout dans





Résolution : (3)  ^{lnxln e}

 

 xe² Cette solution convient.

Donc ^S3





 Exemple 4 : Etudier le signe de e^x1 suivant les valeurs de x.

Méthode : Pour étudier le signe de cette expression, on résout deux inéquations et une équation.

e^x 1 0 (1) e^x 1 0 (2) e^x 1 0 (3)

(1)  e^x1  x0

(2)  e^x1  x0

(3)  e^x1  x0

 Exemple 5 : Etudier le signe de e^x1 suivant les valeurs de x.

e^x est toujours positif donc  x e^x 1 0. III. Propriétés algébriques de l’exponentielle 1°) Propriété 1 (fondamentale)

 Énoncé





  e^{x y} e^xe^y

 Généralisation





  e^{x1x2 ... xn}e^x1e^x2 ... e^xn

 Démonstration (ROC)

 

ln e^{x y}  x y (prop. 3)

     

ln e^xe^y ln e^x ln e^y xy



  

   lnalnb  ab Donc : e^{x y} e^xe^y

2°) Propriété 2

 Énoncé

 x 1 e e

x x

 

 Démonstration (ROC) e^xe^xe^{x x} (prop.1) e⁰

1

D’où : 1

e e

x x

 

x –  0 +  Signe de e^x1 – 0 +

3°) Propriété 3

 Énoncé





  e

e e

x x y

y

 

 Démonstration (ROC)

  e^{x y} e^{x y} prop. 1 e^xe^y prop. 2 1

e e

x

  y e

e

x

 y

4°) Propriété 4

 Énoncé

 x n 

 

 Démonstration (ROC)

   

lne^{x n} nln e^x

 

 

 

ln e^nx nx

   

lne^{x n} ln e^nx

 

 

Donc

 

5°) Formule récapitulatif e^{x y} e^xe^y

1 e

e

x x

 

e e e

x x y

y

 

 

ln e^xx eln^xx (x0) 6°) Exercice

Simplifier

ln 2 ln 2

e 1 e

  (prop.2)

1

2 (I. prop. 4)

 ³

3ln 5 ln 5

e e

5³ 125

2ln 3 2 ln 3

e 1 e

 

_{ln 9}1

e 1

9

IV. Etude de la fonction exponentielle 1°) Définition

La fonction exponentielle est la fonction exp : x  e^x. 2°) Domaine de définition

Dexp = 

On peut noter exp :  ^*_

x e^x (^exp

 

3°) Continuité – Dérivabilité

Nous admettrons sans démonstration que la fonction exp est continue sur  (c’est-à-dire que a

  lim e^x e^a

xa  ) et dérivable sur  et que  x  ^exp'

 

On retient

 

Justification :

 x ^{ln exp}

  



En admettant que exp est dérivable sur , on obtient en dérivant les deux membres.

 x ^exp'

 

exp 1 x

x  (formule





 u) D’où ^exp'

 

4°) Tableau de variation

x –  +  Signe de e^x +

Variation de exp +

0 La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

5°) Limites

La fonction exponentielle est définie au voisinage de + et de –  donc les limites en + et de –  sont envisageables.

Méthode par changement de variable

 Limite en +

On pose xlnX  Xexpx (Xe^x) (x  +)  (X  +)

e^xeln ^XX lim

X X

  

Donc lim e^x

x  

 Limite en – 

On pose xlnX  Xexpxe^x (x  –)  (X  0⁺)

0

lim 0

X X

  Donc lim e^x 0

x 

Retenir les limites de référence lim e^x

x  

lim e^x 0

x 

lim e^x e^a

xa  (a)

Conséquence graphique : La courbe Cexp admet la droite d’équation y = 0 (c’est-à-dire l’axe des abscisses) pour asymptote horizontale en –.

6°) Représentation graphique

Tableau de valeurs (avec la calculatrice)

x –10 –1 0 1 2 3 4

exp x

(valeurs arrondies au dixième) 0,0 0,4 1 2,7 7,4 20,1 54,1

e^100,0004539... ; e^10,367... ; e⁰1 ; e¹e ; e²7,389... ; e³20,0855... ; e³54,598...

e

1 i j O

Cexp : yexpx

 : yx

7°) Tangentes particulières

 au point d’abscisse 0

   

exp 0' exp 0 e 1

L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 0 s’écrit :

 

1 0 1

y x  1 y x

 au point d’abscisse 1

   

exp 1' exp 1 e e

L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse e s’écrit :

 

e 1 e

y x  e y x

Cette tangente passe par l’origine du repère d’où le tracé.

8°) Symétrie

Rappel : la symétrie par rapport à la 1^ère bissectrice  : y = x dans un repère orthonormé.

S

P P

M x

y  M x' y ' y' x





Cexp est l’image de Cln par S.

M(x ; y) est un point quelconque du plan avec x0. M  Cln  yln x et x0

 ^xexp

 

 ^y'^exp

 

Donc Cexp = S (Cln) (dans un repère orthonormé).

V. Limites de référence

1°) 1^ère limite de référence (croissance comparée) lim e

x x x  

x  e^x

x est définie sur ^* donc la limite de e^x

x lorsque x  + est envisageable.

On rencontre une FI du type « 

 ».

Méthode par changement de variable.

On pose xlnX  Xexpx (Xe^x) (x  +)  (X  +)

Réécriture : e 1

ln ln

x X

x X X X

 

lim 1 1

lim ln 0

X

X

X X







 



 

 

 

  

donc par limite d’un quotient : 1 lim ln

X X

X

  .

Donc e

lim

x x^ x

 

  

  .

2°) 2^e limite de référence

 

lim e^x 0

x x

 

La fonction x  ex ^x est définie sur  donc la limite de ex ^x lorsque x  – est envisageable.

On rencontre une FI du type « 0   ».

Méthode par changement de variable.

On pose x X  X x (x  –)  (X  +)

Réécriture : 1

e e

e e

x X

X X

x X X

X

      

 

ère

lim 1 1

lim e (1 limite)

X X

X X











  

  

 



  

donc par quotient 1

lim 0

e^X

X

X



 

 

  

 

 

  .

D’où _x^lim_

 

3°) 3^e limite de référence

0

e 1

lim 1

x

x x

 

La fonction x  e^x 1 x

 est définie sur ^*, donc est définie au voisinage de 0 (sauf en 0).

Par conséquent, la limite de e^x 1 x

 quand x 0 est envisageable.

 

0

0

lim e 1 e 1 0

lim 0

x x x

x





    

 

On rencontre une FI du type « 0 0 ».

Méthode par taux de variation.

On effectue une réécriture (comme souvent en mathématiques, on complique pour simplifier le problème).

   

 

taux de variation de la fonction exp entre 0 et 0

exp 0 exp 0

e 1

0 0

x

x

x

x x



 

 

 



La fonction exp est dérivable sur  et  x ^exp'

 

 

Donc par définition du nombre dérivé de exp en 0, on a :

   

   

0

exp 0 exp 0

lim exp' 0

0 0

x

x x



 

  

D’où :

0

e 1

lim 1

x

x^ x

  .

4°) Récapitulatif des limites de la fonction exponentielle

lim e^x

x  

lim e^x 0

x 

lim e^x e^a

xa  (a) lim e

x x^ x  

 

lim e^x 0

x x





0

e 1

lim 1

x

x^ x

 

VI. Conséquences du sens de variation

1°) Comparaison de l’exponentielle de deux réels a et b sont deux réels quelconques.

e^ae^b  ab e^ae^b  ab

2°) Application aux équations et aux inéquations

Reprendre les exercices du II. 5°)

VII. Dérivée de la composée d’une fonction dérivable suivie de la fonction exponentielle 1°) Règle générale (admise provisoirement sans démonstration)

u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

La fonction f : x  e^{u x } est définie et dérivable sur I et  x I ^f'

 

 

 

2°) Cas particulier

 

u x ax b

 

' u x a





 

 

d e d e

ax

a ax

x  

 

d e d e

at

a at

t  

Notation de Leibniz ou notation différentielle La variable figure au dénominateur.





d e d 2 e

t

t

t



   

1 3

1 3

d e

1 e

d 3

t

t

t





 

 

    

VIII. Puissance réelle 1°) Définition

Pour tout a0 et tout réel b, on note a le réel ^b e^blna. eln

b b a

a 

2°) Exemple

2^e^ln 2

Avec la calculatrice, on trouve : 2^8,8249...

 

 

3°) Remarque : exposants entiers

n est un entier relatif quelconque.

ln ln

e^{n a}e ^anaⁿ n

Pour un entier relatif, la définition du 1°) coïncide avec la définition connue.

4°) Signe d’une puissance réelle





   a^b0

5°) Logarithme népérien d’une puissance





   ^ln

 





6°) Cas particuliers

 ae e^{xln e}e^x

 a1

1^xe^xln1e⁰1

7°) Propriétés algébriques

a et b sont deux réels strictement positifs.

x et y sont deux réels strictement quelconques.

x y x y

a a a ^

 

 

x x

x

a a

b b

 

  

 

1 _x

x a

a

  x

x y y

a a

a

 

Démonstration de la 1^ère propriété

ln ln

e e

x y x a y a

a a   e^{xlna ylna} e^{x y lna} a^{x y}

8°) Lien avec le logarithme de base a

x *

y

  

 







 

* \ 1

a_

log_axy  ln ln

x y a  lny alnx  ^lnxln

 

 xa^y log_axy  xa^y (xlny  ye^x) Cas particulier

10 a

log

y x  x10^y

En chimie, pH log H O 3 ^

pH log H O 3 ^

   

pH

H O3 ^ 10^

  

 

IX. Retour sur les familles de fonctions 1°) La fonction exponentielle

On a dit que la fonction exponentielle ne peut s’exprimer à l’aide des fonctions usuelles ; en particulier, la fonction exponentielle n’est ni une fonction polynôme, ni une fonction rationnelle.

On dit que la fonction exponentielle est transcendante.

2°) Conséquences

Les fonctions construites à l’aide de la fonction exponentielle ne sont à priori pas des fonctions polynômes ni des fonctions rationnelles.

Exemples :

 La fonction f : x  e^2xe^x2 n’est pas une fonction polynôme.

 La fonction f : x  e

e 1

x

x n’est pas une fonction rationnelle.

 La fonction f : x  e 1

x

x n’est pas une fonction rationnelle.

Mise en garde : on ne peut donc pas appliquer à ces fonctions les théorèmes qui s’appliquent aux fonctions polynômes ou rationnelles, en particulier pour les limites.