TS : TD fonction exponentielle (1)
I
On rappelle que exp est l’unique fonction non nulle dérivable surRtelle que
½ f′=f f(0)=1.
On cherche une fonctionf non nulle, dérivable surR, telle que
½ f′=f f(0)=λ
λ6=0.
Pour cela, on poseg= 1 λf.
1. Montrer qu’alors,g′=g et queg(0)=1.
2. En déduire l’expression degpuis celle def. (on admet queg est unique)
II
On cherche une fonction f, non nulle, dérivable surRet telle que
½ f′=k f
f(0)=1 k∈R. 1. Montrer queg:x7→exp(k x) convient.
2. Comment montrerait-on l’unicité d’une telle fonction
3. En déduire une fonctionf telle que
½ f′=2f f(0)=1 4. En déduire une fonctionf telle que
½ f′=2f f(0)=λ , λ∈R
III
1. Soitf une fonction dérivable surR. Si, pour tout x réel, on a f′(x)= f(x), peut-on affirmer que f′est dérivable sur Ret que , pour toutx réel, f′′(x)=f(x) ?
2. Soitf une fonction deux fois dérivable surR.
Si, pour toutx∈R, f′′(x)=f(x), peut-on affir- mer que f′est dérivable surRet que, pour tout x∈R, on af′(x)=f(x) ?
IV
Calculer les dérivées des fonctions suivantes : a). exp(3x+4) b).xexp(2x)
c).p
exp(x) d). (exp(x))3
