TS : TD sur la fonction exponentielle (fin du chapitre)
I
On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction f définie surRpar f(x)=eax2+bx+c, oùa,b etc sont trois réels.
x −∞ 1 +∞
f′(x) + 0 −
f(x) ✒
e2
❅❅
❅❘
De plus, on sait quef(0)=e32.
1. En utilisant les renseignements ci-dessous, trouver les valeurs dea,betc.
2. Déterminer la limite de f en−∞et en+∞.
3. Vérifier que la droite d’équationx=1 est un axe de symétrie de la courbe représentative def.
II D’après problème de bac S (Pondichéry 95) Les trois parties peuvent être traitées de façon indépen- dante.
Partie A :
1. Montrer que la fonctionf définie par f(x)=(λx+µ)e−xvérifief′′+2f′+f =0.
On admet que toutes les fonctions vérifiant f′′+2f′+f =0 sont de cette forme.
2. Déterminer la solution de (E) dont la courbe repré- sentative passe par le point de coordonnées (0;1) et admet en ce point une tangente horizontale.
Partie B :
On note f la fonction définie surRpar : f(x)=(x+1)e−x
etC sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;→−
i;−→
j). (unité graphique : 4 cm) 1. Étudier le sens de variation def.
2. Déterminer la limite de f en+∞et donner une in- terprétation graphique du résultat.
Déterminer la limite def en−∞. 3. Dresser le tableau de variation def. 4. Montrer que l’équation f(x)=1
4 admet exactement deux solutions réelles. On noteraαetβces solutions (α<β).
Montrer queαappartient à l’intervalle
¸
−1;−1 2
· . Déterminer une valeur approchée deβà 10−2 près par défaut en justifiant la méthode employée.
Partie C :
Pour tout entierk, on notefkla fonction définie surR parfk(x)=(x+1)e−k x.On noteCkla courbe représentative defkdans le repère orthonormal joint.
Lorsque k =1, on retrouve la fonction f étudiée dans la partie B, c’est-à-dire que dans ce cas, f1=f etC1=C.
1. Quelle est la nature de la fonctionf0? 2. Étudier, suivant les valeurs dex, le signe de
(x+1)(e−x−1). En déduire les positions relatives de Cket deCk+1.
3. On suppose quekest non nul.
(a) Calculerfk′(x) pour toutknon nul.
(b) En déduire le sens de variation de la fonctionfk
(distinguer les cas :k>0 etk<0).
(c) On a représenté sur le graphique joint quatre courbesE,F,G etH correspondant à quatre valeurs différentes dek. Identifier ces valeurs, en justifiant la réponse.
O −→
i
−
→j
