Fonction exponentielle

Fonction exponentielle

Herv ´e Hocquard

Universit ´e de Bordeaux, France

1^ernovembre 2015

La fonction exponentielle

Introduction

La fonction ln est continue et strictement croissante sur]0; +∞[, elle d ´efinit donc une bijection de]0; +∞[surR.

La fonction exponentielle

Introduction

La fonction ln est continue et strictement croissante sur]0; +∞[, elle d ´efinit donc une bijection de]0; +∞[surR.

D ´efinition

La r ´eciproque est appel ´ee fonction exponentielle et not ´ee exp, elle est d ´efinie par :

exp:R −→ ]0; +∞[

x 7→ exp(x) =y tel quey>0etln(y) =x

Cons ´equences

1 La fonction exp est continue et strictement croissante sur R, de plus exp(0) =1 et exp(1) =e.

2 La fonction ln est d ´erivable sur]0; +∞[et sa d ´eriv ´ee ne s’annule pas, donc la fonction exp est d ´erivable surRet exp^′(x) =exp(x).

3 Dans un rep `ere orthonorm ´e, la courbe repr ´esentative de la fonction exp et celle de la fonction ln sont sym ´etriques par rapport `a la premi `ere bissectrice.

Courbe repr ´esentative

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

y=exp(x)

y =ln(x) y =x

Propri ´et ´e fondamentale de l’exponentielle

Th ´eor `eme

∀x,y∈R,exp(x+y) =exp(x)×exp(y) Il en d ´ecoule en particulier que exp(−x) = 1

exp(x).

Propri ´et ´e fondamentale de l’exponentielle

Th ´eor `eme

∀x,y∈R,exp(x+y) =exp(x)×exp(y) Il en d ´ecoule en particulier que exp(−x) = 1

exp(x). Notation

Pour tout r ´eel x , exp(x) =e^x.

Autres propri ´et ´es

Propri ´et ´es

Pour tous r ´eels x et y ,

1 e⁰=1 et e¹=e.

2 e^−x= 1

e^x.

3 e^x−y =e^x e^y.

4 Pour tout entier relatif p, e^px= (e^x)^p.

Autres propri ´et ´es

Propri ´et ´es

Pour tous r ´eels x et y ,

1 e⁰=1 et e¹=e.

2 e^−x= 1

e^x.

3 e^x−y =e^x e^y.

4 Pour tout entier relatif p, e^px= (e^x)^p. Exercice : Preuve

Limites

Limites importantes

1 lim

x→+∞e^x= +∞

2 lim

x→+∞

e^x x = +∞

3 lim

x→−∞e^x =0

4 lim

x→−∞xe^x =0

5 lim

x→0

e^x−1 x =1

Limites

Limites importantes

1 lim

x→+∞e^x= +∞

2 lim

x→+∞

e^x x = +∞

3 lim

x→−∞e^x =0

4 lim

x→−∞xe^x =0

5 lim

x→0

e^x−1 x =1 Exercice : Preuve

Etude de la fonction exponentielle ´

Propri ´et ´e

La fonction exp est strictement croissante surR.

Etude de la fonction exponentielle ´

Propri ´et ´e

La fonction exp est strictement croissante surR. Cons ´equences

1 Pour tous r ´eels a et b, e^a<e^b ´equivaut `a a<b.

2 Pour tous r ´eels a et b, e^a=e^b ´equivaut `a a=b.

Applications

Exercice

1 R ´esoudre dansRl’ ´equation exp(2x+5) =exp

3

x

.

2 R ´esoudre dansRl’in ´equation exp(x²−4)≤exp(−3x).

3 R ´esoudre dansRl’ ´equation 2e^2x+8e^x+6=0.

Tableau de variations

x

Signe de e^x

Variation de exp

−∞ +∞

+

0 0

+∞

+∞

In ´egalit ´e de convexit ´e

Th ´eor `eme

∀x∈R,e^x ≥x+1

In ´egalit ´e de convexit ´e

Th ´eor `eme

∀x∈R,e^x ≥x+1 Exercice

Prouver le r ´esultat pr ´ec ´edent.

Fonction exp(u)

u est une fonction d ´erivable sur un intervalle I. La fonction f d ´efinie par : f(x) =e^u(x) est d ´erivable sur I et pour tout r ´eel x de I, f^′(x) =u^′(x)e^u(x).

Fonction exp(u)

u est une fonction d ´erivable sur un intervalle I. La fonction f d ´efinie par : f(x) =e^u(x) est d ´erivable sur I et pour tout r ´eel x de I, f^′(x) =u^′(x)e^u(x).

Exercice

f est la fonction d ´efinie surRpar f(x) =e^x2+2x. D ´eterminer la fonction d ´eriv ´ee de f .

Fonctions exponentielles de base a

D ´efinition

Soit a un r ´eel strictement positif, on appelle fonction

exponentielle de base a, la fonction not ´ee exp_a, d ´efinie surR par :

∀x∈R,exp_a(x) =e^{x ln(a)}

Fonctions exponentielles de base a

D ´efinition

Soit a un r ´eel strictement positif, on appelle fonction

exponentielle de base a, la fonction not ´ee exp_a, d ´efinie surR par :

∀x∈R,exp_a(x) =e^{x ln(a)}

Remarques

La fonction exponentielle de base 1, exp₁:x7−→1^x, est constante et vaut 1.

La fonction exponentielle de base e, exp_e:x7−→e^x, est la fonction exponentielle d ´ej `a ´etudi ´ee.

Fonctions exponentielles de base a

Soit a un r ´eel strictement positif.

Th ´eor `eme

1 La fonction exp_aest d ´efinie, d ´erivable et continue surRet

`a valeurs dansR^+∗.

2 Pour tout r ´eel x , exp^′_a(x) =ln a×exp_a(x) =a^xln a.

Fonctions exponentielles de base a

a>1 0<a<1

• exp_aest strictement croissante surR • exp_aest strictement d ´ecroissante surR

• lim

x→+∞exp_a(x) = +∞; • lim

x→+∞exp_a(x) =0.

x→−∞limexp_a(x) =0. lim

x→−∞exp_a(x) = +∞.

• lim x→+∞

a^x

x = +∞. • _x→−∞lim a^x

x = +∞.

x

exp^′_a(x)

exp_a

−∞ +∞

+

0 0

+∞

+∞

x

exp^′_a(x)

exp_a

−∞ +∞

− +∞

+∞

0 0 L’axe des abscisses est asymptote en−∞. L’axe des abscisses est asymptote en+∞.

Fonctions puissances

D ´efinition

Siα est un r ´eel et si x>0 alors on a : x^α=exp_x(α) =e^αln(x)

[x^α]^′=αx^α−1

Fonctions puissances

1 2 3 4

1 2 3 4 5

−1

α <0 α >1 α=1

0<α<1

Fonctions puissances

Propri ´et ´es

Avec x,y >0 etα,β∈R:

1 x^α×x^β =x^α+β, et donc x^−α=_x¹α, et ^x_x^α_β =x^α−β.

2 (x^α)^β=x^αβ.

3 (xy)^α=x^α×y^α.

4 Pourα non nul, y=x^α ⇐⇒ x=y^α1.

Croissances compar ´ees

Th ´eor `eme

1 Siα <β alors lim

x→+∞

x^α

x^β =0 et lim

x→0⁺

x^β x^α =0.

2 Siα etβ sont des r ´eels strictement positifs, alors :

x→+∞lim

[ln(x)]^β

x^α =0 et lim

x→0⁺x^α|ln(x)|^β =0

3 Siα est un r ´eel et siβ >0, alors : lim

x→+∞x^αe^−βx =0.