3 Etude de la fonction exponentielle

Exponentielle et logarithme

1 D´ efinition de la fonction exp(x)

En math´ematiques, le nombre e est une constante dont le d´eveloppement d´ecimale commence par 2,718281828.... La fonction exponentielle, not´ee exp est la fonction d´efinie sur R qui `a chaque r´e´elx associe la puissancee^x.

Notez que pour toutx, on ae^x>0 et e⁰= 1.

2 Propri´ et´ es alg´ ebriques de exp(x)

– Pour tous r´eelsaetb,e^a+b=e^ae^b. – Pour tout r´eel a,e^−a= 1

e^a. – Pour tous r´eelsaetb,e^a−b= e^a

e^b. – Pour tous r´eelsaetb, e^ab

=e^ab.

3 Etude de la fonction exponentielle

3.1 Sens de variation

La fonction exp est strictement croissante sur R. Alors, pour tous r´eelsaetb, on a

– e^a=e^b ´equivaut `a a=b, – e<sup>a</sup>< e<sup>b</sup> ´equivaut `a a < b, – e^a6e^b ´equivaut `a a6b.

3.2 Limites On a

x→+∞lim e^x = +∞ et lim

x→−∞e^x= 0.

L’axe des abscisses est donc asymptote au voisinage de−∞ `a la courbe repr´esentative de la fonction exponentielle.

Croissances compar´ees :

x→+∞lim e^x

xⁿ = +∞pour tout n>0

x→−∞lim e^xxⁿ= 0 pour toutn>0

3.3 D´eriv´ee

La fonction exp(x) est d´erivable sur Ret est ´egale `a sa fonction d´eriv´ee : (exp(x))⁰= exp(x).

Siu est une fonction d´erivable sur un intervalle I, la fonction f d´efinie par f(x) =e^u(x) est d´erivable surI et on a

f⁰(x) =e^u(x)u⁰(x).

4 D´ efinition de la fonction logartihme

La fonction logarithme n´ep´erien d´efinie sur R⁺ et not´ee ln(x) est la r´eciproque de la fonction exp(x).

On a donc : – ln 1 = 0,

– pour tout r´eela, lne^a=a, – pour tout r´eela >0,e^lna =a.

– pour tout r´eelsaetb >0,b=e^a´equivaut `a a= lnb.

– pour tout r´eela >0 et tout r´eelb,a^b=e^blna

5 Propri´ et´ es alg´ ebriques de ln x

– Pour tous r´eelsa >0 etb >0, lnab= lna+ lnb.

– Pour tout r´eel b >0, ln1

b =−lnb.

– Pour tous r´eelsa >0 etb >0, lna

b = lna−lnb.

– Pour tout r´eel a >0 et tout r´eelb, lna^b =blna.

6 Etude de la fonction ln x

6.1 Sens de variation

La fonction ln(x) est strictement croissante surR⁺. Alors, pour tous r´eelsa >0 et b >0, on a

– lna= lnb´equivaut `a a=b, – lna <lnb´equivaut `a a < b, – lna6lnb´equivaut `a a6b.

6.2 Limites On a

x→+∞lim lnx= +∞ et lim

x→0lnx=−∞

L’axe des ordonn´ees est donc asymptote au voisinage de 0 `a la courbe repr´esentative de la fonction lnx.

Croissances compar´ees :

x→+∞lim lnx

xⁿ = 0 pour toutn >0

x→0lime^xxⁿ= +∞ pour toutn >0

6.3 D´eriv´ee

La fonction lnx est d´erivable sur ]0,+∞[ et on a ln⁰(x) = 1 x.

Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I et strictement positive, la fonction f d´efinie par f(x) = lnu(x) est d´erivable sur I et on a

f⁰(x) = u⁰(x) u(x).