Samedi 5 D´ ecembre 2020
Dur´ ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N
◦3
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit
AVERTISSEMENT
• Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.
• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.
•Lapr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de lar´edaction,la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour unepart importante dans l’appr´eciation des copies.
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Lyc´ee de l’Essouriau DEVOIR SURVEILL ´E N◦3 Les Ulis
PROBL` EME
Sur les traces des matrices...
Le but de cet exercice est l’´etude d’une application T (appel´ee trace) qui `a tout matrice carr´ee associe la somme des coefficients de sa diagonale.
On rappelle qu’une matrice uni-coefficient [x] est assimil´ee au nombre r´eel x.
1. Dans cette question on se place en taille n= 2 et on d´efinit donc T :
M2(R) → R a b
c d
7→ a+d (a) SoitR=
1 1
−1 1
. CalculerR2 et si R est inversible, d´eterminer R−1. (b) A-t-onT(R2) =T(R)2?T(R)−1 =T(R−1) ?
(c) Soitx∈R, on pose maintenant S =
x −1
0 x
. Prouver que T(RS) =T(SR).
(d) Calculer pourn∈N,Sn. A-t-onT(Sn) =T(S)n?
(e) L’applicationT :M2(R)→Rest-elle injective ? surjective ? Justifier.
2. Dans cette question on se place en taille n= 3, on a donc maintenant :
∀M ∈ M3(R), T(M) =m1,1+m2,2+m3,3 (a) Soienta, b, c des r´eels, on poseL= a b c
. Prouver que T(tLL) =L×tL.
(b) SoitP =
1 −1 2
0 1 −1
−1 2 −1
. Prouver que P est inversible et calculer P−1.
(c) SoitA=
−1 5 −3
1 −1 1
0 −4 2
. CalculerD=P−1AP puis comparer T(D) et T(A).
(d) CalculerDn pour n∈N, en d´eduireAn. Comparer enfin T(Dn) et T(An).
3. On se place maintenant en taillenquelconque. On va prouver quelques propri´et´es de la fonction trace.
∀M ∈ Mn(R), T(M) =
n
X
i=1
ci,i
(a) ComparerT(tM) et T(M). SiM ∈ An(R) (matrice antisym´etrique), que vautT(M) ? (b) Que vautT(An(R)) ? A-t-on T−1({0}) =An(R) ?
(c) Donner un exemple d’´el´ement deT−1(R−∗)∩ Sn(R)∩ GLn(R).
(d) SoientA etB deux matrices quelconques deMn(R), on noteC=AB la matrice produit.
Rappeler l’expression des coefficientsci,j de C et prouver que T(AB) =T(BA).
(e) SoitP ∈ GLn(R) (une matrice inversible deMn(R)) etA dansMn(R).
D´eduire de la question pr´ec´edente que T(P−1AP) =T(A).
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 2 PCSI 2020-2021
Lyc´ee de l’Essouriau DEVOIR SURVEILL ´E N◦3 Les Ulis
EXERCICE 1
D´ecomposition en ´el´ements simples, primitives et ´equations diff´erentielles
1. Primitive et int´egrales
(a) Soitn∈N, calculer, `a l’aide d’une int´egration par partie,In= Z e
1
xnlnx dx.
(b) A l’aide du changement de variablex=√
t, calculerI = Z 2
1
ln(t)
√ t dt 2. ´Equation diff´erentielle d’ordre 1
(a) On consid`ere l’application :
Q:
]1,+∞[ → R
x 7→ 1
x(x−1)2
D´eterminer l’ensemble des triplets (a, b, c)∈R3 tels que ∀x∈]1,+∞[ : Q(x) = a
x+ b
x−1 + c (x−1)2 (b) D´eterminer la primitive de Qsur ]1,+∞[ qui s’annule en 2.
(c) En d´eduire les solutions de l’´equation diff´erentielle (E) suivante sur ]0,1[ : (E) : xy0−y = x
(x−1)2 3. ´Equation diff´erentielle d’ordre 2 :
R´esoudre (F) :y00−6y0+ 9y =e−t.
EXERCICE 2
Polynˆomes et syst`emes lin´eaires
On cherche l’ensemble des couples (α, β) ∈ R2 tels que pour tout polynˆome P(X) = a+bX+cX2 avec coefficients a, b, c∈R:
Z 2 1
P(x) dx=αP(1) +βP 5
3
1. Montrer que r´esoudre ce probl`eme est ´equivalent `a chercher les solutions du syst`eme :
(S)
α+β = 1 α+53β = 32 α+259 β = 73
2. En appliquant l’algorithme de Gauss sur la matrice augment´ee associ´ee au syst`eme (S), d´eterminer l’ensemble des solutions du probl`eme.
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 3 PCSI 2020-2021
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EXERCICE 3
Des paires de chaussures m´elang´ees et des groupes de colle
1. 4 colocataires ont m´elang´e chacun leur paire de chaussures dans l’entr´ee de leur appartement. Le matin, le premier colocataire qui se l`eve prend 2 chaussures au hasard.
(a) Combien de possibilit´es s’offrent `a lui ?
(b) Combien de choix a-t-il pour que les deux chaussures choisies forment une paire (une droite et une gauche quelconques) ?
(c) Combien de choix a-t-il pour que les deux chaussures appartiennent `a deux personnes diff´erentes ? 2. Dans une classe de PCSI de n´el`eves (n > 3), on souhaite faire les groupes de khˆolles (1 groupe de
khˆolles comporte 3 ´el`eves). On a associe un num´ero `a chaque ´el`eve entre 1 etn.
(a) Combien existe-t-il de triplets d’entiers tous compris entre 1 etn?
(b) Combien existe-t-il de triplets d’entiers diff´erent deux `a deux, et tous compris entre 1 etn? (c) Combien existe-t-il de triplets d’entiers (a, b, c) tous compris entre 1 et ntels quea < b < c? (d) Laquelle des trois situations pr´ec´edentes d´enombre le nombre de compositions possibles pour
former un groupe de khˆolle ?
EXERCICE 4
PGCD de termes d’une suite Soit (un)n∈Nla suite d’entier d´efinie par u0 = 14 etun+1 = 5un−6.
On va montrer que∀n∈N,P GCD(un+1, un) est constant et trouver sa valeur.
1. Montrer que∀n∈N,P GCD(un+1, un) est un ´el´ement de {1,2,3,6}.
2. Montrer par r´ecurrence surn∈N,P(n) :«2 diviseun et 3 ne divise pasun». 3. Conclure.
EXERCICE 5
Somme, produits, binˆome
1. Calculer
n
Y
k=1
2k+ 1 2k−1.
2. On pose pour toutn∈N,un= (−2)n, calculer alors : (a) S1 =
n
X
k=0
uk (b)S2 =
n
X
k=1
un (c)S3 =
n
X
k=0
n k
uk
(d) S4 =
n
X
k=1
(uk+k) (e) S5 =
n
X
k=0
(u2k+n) (f) S6 =
n
X
k=0
ukn
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 4 PCSI 2020-2021
