Samedi 10 Octobre 2020
Dur´ ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N
◦2
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit
AVERTISSEMENT
• Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.
• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.
•Lapr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de lar´edaction,la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour unepart importante dans l’appr´eciation des copies.
• En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
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Lyc´ee de l’Essouriau DEVOIR SURVEILL ´E N◦2 Les Ulis
EXERCICE 1
Oh non, encore du cours `a restituer ! 1. Recopier et compl´eter.
•arccos est d´efinie sur. . . `a valeurs dans. . ., d´erivable sur . . .et : arccos0(x) =. . .
•arcsin est d´efinie sur. . . `a valeurs dans. . ., d´erivable sur . . .et : arcsin0(x) =. . .
•arctan est d´efinie sur. . .`a valeurs dans. . ., d´erivable sur. . . et : arctan0(x) =. . . 2. Soita∈R+∗. Ensemble de d´efinition et d´eriv´ee de f :x7→ax.
3. ∀(a, b)∈R, rappeler les formules de trigonom´etrie cos(a+b) et sin(a+b).
4. Pourz dans C, rappeler la formule liant un nombre complexe z, ¯z et|z|.
5. Pourz dans C, exprimer Re(z) puis Im(z) en fonction dez et ¯z.
6. Rappeler la d´efinition de l’ensembleU. Comment tout nombrez complexe deU peut-il s’´ecrire ? 7. Rappeler les formules d’Euler.
8. Rappeler la formule de Moivre.
9. Donner pr´ecis´ement l’expression des racinesn-i`emes de l’unit´e. Que vaut leur somme ? 10. Donner au moins deux propri´et´es signifiant qu’un nombre zest imaginaire pur.
EXERCICE 2
Des ´equations trop complexes pour vous ? 1. R´esoudre dans [0,2π] l’in´equation sin(2x)< 12.
2. R´esoudre dansRl’´equation cos(3x) = sin(x).
3. R´esoudre dansCl’´equation iz2+iz+ 1 +i= 0.
4. R´esoudre dansCl’´equation z4= 4i, on ´ecrira les solutions sous la formereiθ avec θ∈[−π, π[.
5. Soit un r´eel x∈]0,2π[, d´eterminer le module et un argument de 1−eix. Soit de plusn∈N, on pose Z =
n
X
k=0
eikx. Prouver que Z = sin
(n+1)x 2
sin x2 einx2
EXERCICE 3
Connaissez-vous l’int´egrale des primitives sur le bout des doigts ?
1. D´eterminer une primitive des fonctions suivantes (en pr´ecisant le domaine de validit´e des calculs) a)f :x7→ x
x−1 b) g:x7→ −1
√1−x2 c)h:x7→ x
1 +x4 d) h:x7→ x 1 +x2 2. Calculer les int´egrales suivantes :
a) Z 2
1
x2+x+ 1
x dx b)
Z e
1
lnt
t dt c)
Z π
4
0
cos(t) sin2(t) dt 3. A l’aide des formules d’Euler, lin´eariser sin3(t) puis en d´eduire la valeur de
Z π
0
sin3(t) dt.
4. En utilisant sin(t) = Im(eit), calculer Z π
0
e−2tsin(t) dt
5. D´eterminer l’ensemble de d´efinition, puis simplifier cos(arcsin(x)).
En d´eduire la valeur de Z 1
2
−12
tan(arcsin(x)) dx.
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 2 PCSI 2020-2021
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EXERCICE 4
Etude de deux fonctions jumelles...´
On consid`ere dans cet exercice les fonctions f etg d´efinies par : f :x7→ 1
2arctan(sh(x)) etg:x7→arctan
sh(x) 1 + ch(x)
. L’objectif de cet exercice est de montrer quef =gde deux mani`eres diff´erentes.
1. Rappeler le domaine de d´efinition de tan,qu’on notera D dans toute la suite.
2. Soitx∈R, rappeler la relation entre ch2(x) et sh2(x).
3. Dans cette question on montre le r´esultat voulu via les d´eriv´ees.
(a) Montrer quef etg sont d´erivables surR. (b) Calculerf0 etg0.
(c) En d´eduire le r´esultat voulu.
4. Dans cette question on montre le r´esultat voulu en utilisant tan.
(a) Montrer que pourx dansR, 2f(x)∈D et calculer tan(2f(x)).
(b) En faisant l’´etude de la fonction h:x7→ shx
1 + chx, montrer que h est a valeurs dans ]−1,1[.
(c) Rappeler les formules trigonom´etriques de duplication concernant cos(2θ) et sin(2θ).
En d´eduire que pour θ∈i
−π 4,π
4 h
, tan(2θ) = 2 tanθ 1−tan2θ.
(d) Pourx∈R, montrer que 2g(x)∈Dpuis que tan(2g(x)) = sh(x).
(e) En d´eduire le r´esultat voulu.
5. Application :Simplifier ch(12ln(3)) et sh(12ln(3)).
En appliquant l’´egalit´e f =g pour la valeur 12ln(3), la tangente de quel angle peut-on calculer ? On simplifiera le r´esultat.
EXERCICE 5
Pas de complexes avec les complexes...
On cherche `a r´esoudre l’´equation suivante d’inconnuez : (E) : (1−iz)3(1 +i
√
3) = (1 +iz)3(1−i
√ 3) 1. Montrer que−in’est pas solution de l’´equation (E).
2. Soitz une solution de (E). Calculer
1 +iz 1−iz
3
et en d´eduire que
1 +iz 1−iz
= 1.
3. Montrer que si
1 +iz 1−iz
= 1 alorsz est un r´eel.
4. Pour un nombrez r´eel, donner le conjugu´e du complexe (1−iz)3(1 +i√ 3).
5. En d´eduire que si z est solution de (E) alors arg[(1−iz)3(1 +i√
3)]≡0 [π].
6. Pour unz r´eel, donner un argument de 1−iz.
En d´eduire un argument de (1−iz)3 puis un argument de (1−iz)3(1 +i√ 3).
7. En d´eduire les solutions de (E).
EXERCICE 6 (Bonus, si tout le reste a ´ et´ e fait...)
Est-ce r´eellement un complexe ?...
Soient a, betz trois nombres complexes de module 1. Montrer que : b
a
z−a z−b
2
∈R+.
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 3 PCSI 2020-2021
